תרגול קבוצות בתאריך 16.4

יש שתי הגדרות לצפיפות שקל להתבלבל בינהם, אלה הן ההגדרות

הגדרה ראשונה (הגדרה מתורת הסדר)

סדר קווי $(X,<)$ נקרא צפוף (ואז נאמר ש$(X,<)$ סדר צפוף או X צפופה) אם לכל $x<y\in X$ קיים $z\in X$ המקיים $x<z<y$.

הגדרה שנייה (הגדרה מטופולגיה)

בהנתן סדר קווי צפוף $(X,<)$ קבוצה $Y\subseteq X$ נקראת צפופה ב X אם לכל $x<y\in X$ קיים $z\in Y$ כך ש $x<z<y$.

טענה

אם $X,Y$ סדרים ו $f:X\to Y$ איזומורפיזם אז $X$ שלם אם ורק אם $Y$ שלם.

שאלות

האם $\mathbb{Q}\cong \mathbb{Q}/\left\{0\right\}$? כן, לפי משפט קנטור

האם $\mathbb{R}\cong \mathbb{R}/\left\{0\right\}$? לא, כי $\mathbb{R}$ סדר שלם ו$\mathbb{R}/\left\{0\right\}$ לא שלם.

האם $\mathbb{R}/\mathbb{Q}\cong \mathbb{R}/{\mathbb{Q}}_{>0}$? לא, אם הייתה איזומורפיזם כזאת, אז היה גם איזומורפיזם בין קטע עם קבוצה שלמה לקטע בלי קבוצה שלמה.

האם $\mathbb{R}/{\mathbb{Q}}_{>0}\cong \mathbb{R}/{\mathbb{Q}}_{<0}$? לא, רישא של קבוצה סדורה זו קבוצה שסגורה כלפי מטה, אם $f:X\to Y$ אז $f$ מעתיקה כל רישא של $X$ לרישא של $Y$. ובאחת מהן יש רישא שלמה ובשנייה אין.

האם $\mathbb{R}/\mathbb{Q}\cong \mathbb{R}/(\mathbb{Q}\cup \sqrt{2}\cdot \mathbb{Q})$? כן, $\mathbb{Q}$ ו- $\mathbb{Q}\cup \sqrt{2}\mathbb{Q}$ סדרים צפופים ללא קצוות ובני מניה לכן כקבוצות סדורות הן איזומורפיות $\mathbb{Q}$ צפופה ב$\mathbb{R}$ ולכן בפרט $\mathbb{Q}\cup \sqrt{2}\mathbb{Q}$ ראינו, שיש הרחבה יחידה $\bar{f}$ מ$\bar{\mathbb{Q}}$ ל$\overline{\mathbb{Q}\cup \sqrt{2}\mathbb{Q}}$ אבל שניהן שוות ל$\mathbb{R}$ כיוון ש$f^{\prime }$ חחע ועל מ$\mathbb{R}$ ל$\mathbb{R}$.

תרגיל מעבודת הבית: אם $(X,<)$ שלמה ו $X_0\subseteq X$ צפופה ב$X$ אז $(\overline{X_0},<)=(x,<)$