אופרטור לכסין אםם המרחבים העצמיים בסכום ישר

אופרטור לכסין אמ”מ המרחבים העצמיים בסכום ישר

הטענה

יהי $T:V\to V$ אופרטור ליניארי עם $\dim V=n$ וערכים עצמיים ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$ (שונים זה מזה). יהיו $V_i=\ker (T-{\lambda }_i\mathrm{Id})$ המרחבים העצמיים. אז $T$ לכסין אם ורק אם:

$$V=V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_k$$

הוכחה

$(\Leftarrow )$ אם $V=V_1\oplus \cdots \oplus V_k$ אז $T$ לכסין

אם $V={⨁}_{i=1}^k{V}_i$, נבנה בסיס של וקטורים עצמיים: לכל $i$, נבחר בסיס ${\mathcal{B}}_i$ של $V_i$. מהגדרת הסכום הישר, $\mathcal{B}={\bigcup }_i{\mathcal{B}}_i$ הוא בסיס של $V$. כל איבר ב-$\mathcal{B}$ הוא וקטור עצמי, לכן לפי אופרטור לכסין אםם קיים בסיס וקטורים עצמיים, $T$ לכסין. $■$

$(\Rightarrow )$ אם $T$ לכסין אז $V=V_1\oplus \cdots \oplus V_k$

נניח $T$ לכסין. לפי אופרטור לכסין אםם קיים בסיס וקטורים עצמיים, קיים בסיס $\mathcal{B}=\{v_1,\dots ,v_n\}$ של וקטורים עצמיים. כל $v_j$ שייך למרחב עצמי כלשהו, ולכן $V=\mathrm{span}(\mathcal{B})\subseteq V_1+\cdots +V_k\subseteq V$, לכן $V_1+\cdots +V_k=V$.

נותר להראות שהסכום ישר, כלומר שהחיתוך של כל $V_i$ עם סכום השאר הוא טריוויאלי:

$$V_i\cap (V_1+\cdots +V_{i-1}+V_{i+1}+\cdots +V_k)=\{0\}$$

זה נובע מוקטורים עצמיים מערכים עצמיים שונים בלתי תלויים ליניארית: וקטורים עצמיים מערכים עצמיים שונים בלתי תלויים ליניארית, לכן לא ייתכן שוקטור עצמי עבור ${\lambda }_i$ יהיה צירוף ליניארי של וקטורים עצמיים מהמרחבים האחרים. $■$

מסקנה שימושית

התנאי ללכסינות $V={⨁}_i{V}_i$ שקול לכך ש-${\sum }_i\dim V_i=\dim V=n$, כלומר שסכום הריבויים הגיאומטריים שווה למימד המרחב. ראו מטריצה לכסינה אםם הריבוי הגאומטרי שווה לריבוי האלגברי.

ראה גם

• לכסון
• ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
• ריבוי אלגברי וריבוי גאומטרי
• וקטורים עצמיים מערכים עצמיים שונים בלתי תלויים ליניארית
• אופרטור לכסין אםם קיים בסיס וקטורים עצמיים
• סכום ישר
• תנאים שקולים לסכום ישר