קבוצה סדורה קווית

הגדרה

קבוצה $(X,<)$ היא סדורה קווית (לינארית) אם $X\ne \varnothing$ ויחס הסדר $<$ מקיים:

1. אי-רפלקסיביות: $\neg (x<x)$ — שום איבר לא קטן מעצמו.
2. אסימטריות: $y<x\Rightarrow \neg (x<y)$.
3. טרנזיטיביות: $x<y\wedge y<z\Rightarrow x<z$.
4. השוואה (טוטאליות): לכל $x\ne y$: $x<y$ או $y<x$.

סדר צפוף

סדר קווי $(X,<)$ נקרא צפוף אם לכל $x<y$ ב-$X$ קיים $z\in X$ עם $x<z<y$.

דוגמאות:

• צפופים: $(\mathbb{R},<)$, $(\mathbb{Q},<)$, $((0,1),<)$.
• לא צפופים: $(\mathbb{N},<)$ (אין מספר בין $n$ ל-$n+1$).

חסר קצוות

סדר קווי $(X,<)$ נקרא חסר קצוות אם לכל $x\in X$ קיימים $y,z\in X$ כך ש-$y<x<z$.

דוגמאות:

• חסרי קצוות: $\mathbb{R},\mathbb{Q},(0,1)$.
• לא חסרי קצוות: $[0,1),\mathbb{N}$ ($0$ הוא מינימום ב-$[0,1)$).

הערה מעניינת: $[-\pi ,\pi {]}_{\mathbb{Q}}=[-\pi ,\pi ]\cap \mathbb{Q}$ הוא חסר קצוות כי $-\pi ,\pi \notin \mathbb{Q}$, אז לכל $q$ בקבוצה יש רציונלי גדול יותר (ורציונלי קטן יותר).

הגדרות קשורות

• איזומורפיזם — שמירת סדר בין שתי קבוצות סדורות.
• שלמות דדקינד — תכונת שלמות של סדרים.

משפטים

• משפט קנטור: כל סדר קווי צפוף חסר קצוות בן-מניה הוא איזומורפי ל-$(\mathbb{Q},<)$.