מבחן ההשוואה הראשון

הטענה

יהיו $\{a_n\},\{b_n\}$ סדרות כך שלכל $n\in \mathbb{N}$ מתקיים $0\le b_n\le a_n$. אז:

1. אם ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ מתכנס אז ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$ מתכנס.
2. אם ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$ מתבדר אז ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ מתבדר.

הוכחה

נסמן ב-$S_n$ את הסס”ח של $\sum a_n$ וב-$T_n$ את הסס”ח של $\sum b_n$.

חלק 1: נניח ש-$\sum a_n$ מתכנס. אז $S_n$ חסומה (אמרנו שעבור טורים חיוביים, חסימות שקולה להתכנסות). לכל $n$:

$$T_n=b_1+\cdots +b_n\le a_1+\cdots +a_n=S_n$$

לכן גם $T_n$ חסומה, ולכן $\sum b_n$ מתכנס. $■$

חלק 2: מקבל מניגוד החלק הראשון.

דוגמאות

הטור ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ מתכנס: מכיוון ש-$\frac{1}{(n+1{)}^2}<\frac{1}{n(n+1)}$ וטור טלסקופי $\sum \frac{1}{n(n+1)}=1$ מתכנס, לפי מבחן ההשוואה גם $\sum \frac{1}{n^2}$ מתכנס.

מסקנה — טורי $p$

${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{\alpha }}\{\begin{array}{ll}\text{מתכנס}& \alpha >1\\ \text{מתבדר}& \alpha \le 1\end{array}$

(עבור $\alpha \ge 2$: הוכחה על ידי השוואה לטור $\sum \frac{1}{n(n+1)}$. עבור $\alpha \le 1$: השוואה להטור ההרמוני.)

ראה גם

• מבחן ההשוואה השני
• מבחן ההשוואה הגבולי
• הטור ההרמוני מתבדר