גזירה איבר איבר של טורי חזקות

הטענה

יהי ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ טור חזקות עם רדיוס התכנסות $R>0$, ותהי $f:(-R,R)\to \mathbb{R}$ המוגדרת על ידי:

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$$

אז $f$ גזירה בכל הקטע $(-R,R)$, ולכל $x\in (-R,R)$:

$$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1}$$

כלומר, מותר לגזור איבר-איבר:

$${\left(\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n\right)}^{\prime }=\sum _{n=1}^{\infty }(a_n{x}^n{)}^{\prime }$$

מסקנה: גזירות אינסופית

מכיוון שגם לטור הנגזרות אותו רדיוס התכנסות (ראו לטור הנגזרות אותו רדיוס התכנסות), ניתן ליישם את המשפט שוב ושוב — הפונקציה $f$ גזירה אינסוף פעמים ב-$(-R,R)$, ו:

$$f^{(k)}(x)=\sum _{n=k}^{\infty }\frac{n!}{(n-k)!}{a}_n{x}^{n-k}$$

הוכחה

יהי $x_0\in (-R,R)$. נוכיח ש:

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n{x}_0^{n-1}$$

שקול להוכיח:

$$\underset{h\to 0}{\lim }\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\left(\frac{(x_0+h{)}^n-x_0^n}{h}-n{x}_0^{n-1}\right)=0$$

נבחר $r$ כך ש-$|x_0|<r<R$. לכל $h$ קטן מספיק עם $x_0+h\in (-r,r)$, לפי חסם לשגיאת גזירת חזקה:

$$\left|\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\left(\frac{(x_0+h{)}^n-x_0^n}{h}-n{x}_0^{n-1}\right)\right|\le \sum _{n=2}^{\infty }|a_n|\cdot |h|\cdot n(n-1)(|x_0|+|h|{)}^{n-2}$$ $$\le |h|\sum _{n=2}^{\infty }|a_n|\cdot n(n-1)r^{n-2}=|h|\cdot C$$

כאשר $C={\sum }_{n=2}^{\infty }|a_n|n(n-1)r^{n-2}$ מתכנס (כי $r<R$ ולטור הנגזרות השניות אותו $R$, לפי לטור הנגזרות אותו רדיוס התכנסות). לכן הביטוי שואף ל-$0$ כש-$h\to 0$. ■

ראה גם

• טור חזקות
• לטור הנגזרות אותו רדיוס התכנסות
• חסם לשגיאת גזירת חזקה
• משפט לגרנז
• גזירות