קמירות וקעירות

הגדרה פורמלית

תהי $f:I\to \mathbb{R}$ פונקציה. $f$ נקראת קמורה (convex) ב-$I$ אם לכל $x_1,x_2\in I$ ולכל $0\le \lambda \le 1$ מתקיים:

$$f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\le \lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)$$

הפונקציה $f$ נקראת קעורה (concave) ב-$I$ אם $-f$ קמורה ב-$I$, כלומר:

$$f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\ge \lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)$$

הערה: פונקציה יכולה להיות גם קמורה וגם קעורה — זה קורה אם ורק אם היא ליניארית (אפינית).

הגדרה אינטואיטיבית

הפונקציה $f$ קמורה ב-$I$ אם לכל $a<b$ בקטע, המיתר $l$ העובר דרך $(a,f(a))$ ו-$(b,f(b))$ נמצא מעל הגרף של $f$ בקטע $(a,b)$.

אינטואיציה לפורמלי

הביטוי $\lambda x_1+(1-\lambda )x_2$ הוא ממוצע משוקלל של $x_1,x_2$. הביטוי $\lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)$ הוא הממוצע המשוקלל התואם על המיתר. הגדרת קמורות אומרת: ערך הפונקציה בנקודה הממוצעת קטן מהממוצע המשוקלל של הערכים.

הגדרות שקולות

לפונקציה גזירה (ולעיתים גם גזירה פעמיים):

• פונקציה קמורה אםם הנגזרת מונוטונית עולה: $f$ גזירה — $f$ קמורה $⟺$ $f^{\prime }$ מונוטונית עולה.
• נגזרת שנייה חיובית: $f$ גזירה פעמיים — $f$ קמורה $⟺$ $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ לכל $x\in I$.
• למת המיתרים: שיפועי המיתרים מסודרים בצורה מונוטונית.
• בפונקציה קמורה הישר המשיק לפונקציה נמצא מתחת לגרף: $f$ גזירה — $f$ קמורה $⟺$ כל ישר משיק נמצא מתחת לגרף.

תכונות

• אי שוויון ינסן: מתקיים

$$f\left(\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}\right)\le \frac{f(x_1)+\cdots +f(x_n)}{n}$$

• נגזרות חד צדדיות ורציפות של פונקציה קמורה: פונקציה קמורה רציפה בכל נקודה פנימית ומחזיקה נגזרות חד-צדדיות.
• קמירות של פונקציה רציפה בקטע סגור: קמירות בפנים + רציפות בקצוות = קמירות בכל הקטע הסגור.

דוגמאות חשובות

1. $f(x)=x^2$ — קמורה בכל $\mathbb{R}$ (כי $f^{\prime \prime }=2>0$).
2. $f(x)=\sqrt{x}$ — קעורה ב-$[0,\infty )$ (כי $f^{\prime \prime }=-\frac{1}{4}{x}^{-3/2}<0$).
3. $f(x)=|x|$ — קמורה בכל $\mathbb{R}$ (מהגדרה ישירה).
4. $f(x)=e^x$ — קמורה בכל $\mathbb{R}$ (כי $f^{\prime \prime }=e^x>0$).
5. $f(x)=e^x+x$ — קמורה ממש, אינה חסומה מלרע ולא מלעיל.

הגדרות קשורות

• נקודת פיתול: נקודה שבה הפונקציה עוברת מקמורה לקעורה או להפך.

תרגילים

• תרגילים של קמירות וקעירות