סודר אינו שייך לעצמו

הטענה

לכל סודר $\alpha$ מתקיים $\alpha \notin \alpha$.

הוכחה

נניח בשלילה ש-$\alpha \in \alpha$. אזי $\alpha \subset \alpha \cup \{\alpha \}$, ולכן לפי תת-קבוצה ממש של סודר היא איבר בו מתקיים $\alpha \in \alpha \cup \{\alpha \}$, שזה נכון; אבל גם $\alpha \in \alpha$ ו-$\alpha \in \alpha$ ביחד מסתרים את אי-הרפלקסיביות של $\in$ על $\alpha$ (שהוא סדר טוב). ■

הוכחה ישירה חלופית

מכיוון ש-$\alpha$ סדורה היטב על ידי $\in$, הסדר אי-רפלקסיבי: לכל $x\in \alpha$, $\neg (x\in x)$. אם $\alpha \in \alpha$ היה מתקיים, היינו מקבלים $\alpha \in \alpha \in \alpha$ — סתירה לאי-רפלקסיביות. ■

ראה גם

• סודר
• תת-קבוצה ממש של סודר היא איבר בו
• עקרון הסדר הטוב