מטריצה לכסינה אםם הריבוי הגאומטרי שווה לריבוי האלגברי

מטריצה לכסינה אם ורק אם הריבוי הגיאומטרי שווה לאלגברי

הטענה

יהי $T:V\to V$ אופרטור ליניארי עם $\dim V=n$ וספקטרום $\sigma (T)=\{{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k\}$. התנאים הבאים שקולים:

1. $T$ לכסין.
2. קיים בסיס של $V$ המורכב מוקטורים עצמיים של $T$.
3. מתקיים (סכום הריבויים הגיאומטריים שווה למימד):

$$\sum _{\lambda \in \sigma (T)}{m}_{\lambda }=n$$

4. הפולינום האופייני $P_T$ מתפצל לגורמים ליניאריים ולכל $\lambda \in \sigma (T)$: $m_{\lambda }=n_{\lambda }$.

הוכחה

א $⟺$ ב (ראו אופרטור לכסין אםם קיים בסיס וקטורים עצמיים)

האופרטור $T$ לכסין $⟺$ ביחס לבסיס $B$ המטריצה אלכסונית $⟺$ $B$ מורכב מוקטורים עצמיים.

ב $⟺$ ג (ראו אופרטור לכסין אםם המרחבים העצמיים בסכום ישר)

בסיס ו”ע קיים $⟺$ המרחבים העצמיים בסכום ישר $⟺$ $\sum m_{\lambda }=n$.

ג $⟺$ ד

מהריבוי האלגברי גדול מהריבוי הגאומטרי: $m_{\lambda }\le n_{\lambda }$ לכל $\lambda$, ולכן:

$$n=\mathrm{deg}{P}_T\ge \sum _{\lambda }{n}_{\lambda }\ge \sum _{\lambda }{m}_{\lambda }$$

(אי-שוויון ראשון: $P_T$ ממעלה $n$; שני: מסכום הריבויים האלגבריים לפחות כריבויים הגיאומטריים.)

ד $\Rightarrow$ ג: $\sum m_{\lambda }=\sum n_{\lambda }=n$ (אם $P_T$ מתפצל לגורמים ליניאריים).

ג $\Rightarrow$ ד: $n=\sum m_{\lambda }\le \sum n_{\lambda }\le n$, אז שוויון בכל מקום, ובפרט $m_{\lambda }=n_{\lambda }$ ו-$P_T$ מתפצל לגורמים ליניאריים. $■$

ראה גם

• ריבוי אלגברי וריבוי גאומטרי
• הריבוי האלגברי גדול מהריבוי הגאומטרי
• אופרטור לכסין אםם קיים בסיס וקטורים עצמיים
• אופרטור לכסין אםם המרחבים העצמיים בסכום ישר