אם קיימים ערכים עצמיים שונים כגודל הבסיס אז האופרטור לכסין

אם יש $n$ ערכים עצמיים שונים אז האופרטור לכסין

הטענה

יהי $T:V\to V$ אופרטור ליניארי עם $\dim V=n$. אם ל-$T$ יש בדיוק $n$ ערכים עצמיים שונים ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$, אז $T$ לכסין.

הוכחה

לכל ${\lambda }_i$ קיים וקטור עצמי $v_i\ne 0$ עם $T{v}_i={\lambda }_i{v}_i$.

מוקטורים עצמיים מערכים עצמיים שונים בלתי תלויים ליניארית, $\{v_1,\dots ,v_n\}$ בלתי תלויים ליניארית.

מכיוון שיש $n$ וקטורים בת”ל ב-$V$ עם $\dim V=n$, הם מהווים בסיס של $V$.

לפי אופרטור לכסין אםם קיים בסיס וקטורים עצמיים, $T$ לכסין. $■$

הערה

תנאי מספיק, לא הכרחי: ייתכן ש-$T$ לכסין גם אם יש ע”ע עם ריבוי $>1$, אם הריבוי הגיאומטרי שווה לאלגברי (ראו מטריצה לכסינה אםם הריבוי הגאומטרי שווה לריבוי האלגברי).

ראה גם

• וקטורים עצמיים מערכים עצמיים שונים בלתי תלויים ליניארית
• לכסון
• ריבוי אלגברי וריבוי גאומטרי