קריטריון קושי

קריטריון קושי להתכנסות טורים

המשפט

הטור ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ מתכנס אם ורק אם לכל $\epsilon >0$ קיים $N\in \mathbb{N}$ כך שלכל $m>n>N$ מתקיים:

$$\left|\sum _{k=n+1}^m{a}_k\right|=|S_m-S_n|<\epsilon$$

כאשר $S_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k$ הם הסכומים החלקיים.

הוכחה

הטור $\sum a_n$ מתכנס אם ורק אם סדרת הסכומים החלקיים $\{S_n\}$ מתכנסת. לפי קריטריון קושי לסדרות, סדרה מתכנסת אם ורק אם לכל $\epsilon >0$ קיים $N$ כך שלכל $m,n>N$ מתקיים $|S_m-S_n|<\epsilon$.

נשים לב ש:

$$|S_m-S_n|=\left|\sum _{k=n+1}^m{a}_k\right|$$

(בהנחה $m>n$), ומכאן נובע הקריטריון. $■$

מסקנה — תנאי הכרחי להתכנסות

אם $\sum a_n$ מתכנס אז $a_n\to 0$. (לוקחים $m=n+1$ בקריטריון ונקבל $|a_{n+1}|<\epsilon$ לכל $n>N$.)

ראו: תנאי הכרחי להתכנסות טורים

שימוש

הקריטריון שימושי במיוחד כאשר קשה לחשב את הסכום החלקי במפורש, אך ניתן להעריך את “זנבות” הטור. הוא הבסיס להוכחות של מבחן לייבניץ ואחרים.

ראה גם

• התכנסות טורים
• תנאי הכרחי להתכנסות טורים
• אם טור מתכנס בהחלט אז הוא מתכנס