משפט קושי-הדמרד

הטענה

יהי $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ טור חזקות. קיים $R \in [0, \infty]$ כך ש:

רדיוס ההתכנסות $R$ נתון על ידי:

R = \frac{1}{lim sup _{n \to \infty} n ∣ a _{n} ∣}

כאשר $R = \infty$ אם $lim sup = 0$ , ו- $R = 0$ אם $lim sup = \infty$ .

הערה: בנקודות הקצה $x = \pm R$ המשפט אינו קובע — יש לבדוק בנפרד.

הגדרת $R$ דרך ה- $sup$ : נגדיר:

R = sup {∣ x ∣ : n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n} מתכנס}

הוכחת נוסחת $R$ : יהי $x_{0} \in R$ . לפי מבחן קושי להתכנסות טורים חיוביים, הטור $\sum ∣ a_{n} x_{0}^{n} ∣$ מתכנס אם:

n \to \infty lim sup n ∣ a_{n} x_{0}^{n} ∣ = ∣ x_{0} ∣ \cdot n \to \infty lim sup n ∣ a_{n} ∣ < 1

כלומר אם $∣ x_{0} ∣ < \frac{1}{lim sup n ∣ a _{n} ∣} = R$ .

באותו אופן, אם $∣ x_{0} ∣ > R$ הטור מתבדר. ■

נבחן את הטור $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n}$ , כלומר $a_{n} = \frac{1}{n}$ .

לפי קושי-הדמרד:

R = \frac{1}{lim sup n \frac{1}{n}} = \frac{1}{1} = 1

(כי $n n \to 1$ ).

בנקודה $x = 1$ : הטור הוא $\sum \frac{1}{n}$ — מתבדר (הטור ההרמוני).
בנקודה $x = - 1$ : הטור הוא $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ — מתכנס (לפי מבחן לייבניץ).