מבחן המנה של דאלמבר (בניסוח גבולי)

הטענה

יהי ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ טור חיובי ממש (כלומר $a_n>0$). אז:

1. אם מתקיים ${\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}<1$ — הטור מתכנס.
2. אם מתקיים ${\mathrm{liminf}}_{n\to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}>1$ — הטור מתבדר.
3. אם הגבול קיים ושווה לדיוק $1$ — המבחן אינו קובע.

הוכחה

מקרה 1 ($\mathrm{limsup}<1$): נסמן $L=\mathrm{limsup}\frac{a_{n+1}}{a_n}<1$ ונבחר $q\in (L,1)$. מהגדרת $\mathrm{limsup}$, קיים $N$ כך שלכל $n>N$: $\frac{a_{n+1}}{a_n}<q$ (אחרת יהיו אינסוף אינדקסים עם $\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge q$, בסתירה ל-$L<q$).

לכן לכל $n>N$: $a_n<q^{n-N}\cdot a_N$, ו-$\sum a_n$ מתכנס לפי מבחן ההשוואה הראשון. $■$

מקרה 2 ($\mathrm{liminf}>1$): קיים $N$ כך שלכל $n>N$: $\frac{a_{n+1}}{a_n}>1$, כלומר הסדרה עולה מ-$N$ ואילך, ולכן $a_n\nrightarrow 0$. הטור מתבדר. $■$

הערה: קשר למבחן קושי

$$\mathrm{liminf}\frac{a_{n+1}}{a_n}\le \mathrm{liminf}\sqrt[n]{a_n}\le \mathrm{limsup}\sqrt[n]{a_n}\le \mathrm{limsup}\frac{a_{n+1}}{a_n}$$

מכאן: מבחן קושי (השורש) חזק יותר ממבחן דאלמבר. יש מקרים שבהם השורש קובע אך המנה לא.

דוגמאות

• $a_n=\frac{1}{n!}$: $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{n+1}\to 0<1$ — מתכנס.
• $a_n=n^n/n!$: מבחן המנה נותן $L=e>1$ — מתבדר.

ראה גם

• מבחן קושי להתכנסות טורים חיוביים
• מבחן ההשוואה הראשון
• תנאי הכרחי להתכנסות טורים