שארית של פולינום מקלורן שואפת לאפס מהר

שארית פולינום מקלורן שואפת לאפס מהר

הטענה

תהי $f$ גזירה $n$ פעמים ב-$x_0=0$, ויהי $P_n(x)$ פולינום מקלורן מסדר $n$. אז:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{R_n(x)}{x^n}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-P_n(x)}{x^n}=0$$

יתרה מכך, $P_n$ הוא הפולינום היחיד ממעלה לכל היותר $n$ המקיים גבול זה.

הוכחה

הגבול שואף לאפס

למה: תהי $g$ גזירה $n$ פעמים ב-$0$ כך ש-$g^{(k)}(0)=0$ לכל $k=0,1,\dots ,n$. אז:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{g(x)}{x^n}=0$$

הוכחת הלמה (אינדוקציה על $n$):

• בסיס $n=1$: ${\lim }_{x\to 0}\frac{g(x)}{x}={\lim }_{x\to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=g^{\prime }(0)=0$. $✓$

• צעד $n\to n+1$: נניח שהטענה נכונה עבור $n$. תהי $g$ גזירה $n+1$ פעמים עם $g^{(k)}(0)=0$ לכל $k\le n+1$. נגדיר $h=g^{\prime }$. אז $h$ גזירה $n$ פעמים ו-$h^{(k)}(0)=g^{(k+1)}(0)=0$ לכל $k\le n$. מהאינדוקציה: ${\lim }_{x\to 0}\frac{h(x)}{x^n}=0$.

  כעת נשתמש בכלל לופיטל (תנאי: גם מונה וגם מכנה שואפים ל-$0$ בנקודה):

  $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{g(x)}{x^{n+1}}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{g^{\prime }(x)}{(n+1)x^n}=\frac{1}{n+1}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{h(x)}{x^n}=0■$$

יישום הלמה לשארית: $R_n(x)=f(x)-P_n(x)$ מקיימת $R_n^{(k)}(0)=f^{(k)}(0)-P_n^{(k)}(0)=0$ לכל $k=0,\dots ,n$ (לפי הגדרת פולינום מקלורן). מהלמה, ${\lim }_{x\to 0}{R}_n(x)/x^n=0$. $■$

יחידות

נניח בשלילה שקיים פולינום $Q\ne P_n$ ממעלה לכל היותר $n$ עם ${\lim }_{x\to 0}(f(x)-Q(x))/x^n=0$.

נגדיר $H=P_n-Q\ne 0$. אז:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{H(x)}{x^n}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{P_n(x)-Q(x)}{x^n}=\underset{x\to 0}{\lim }\left[\frac{f(x)-Q(x)}{x^n}-\frac{f(x)-P_n(x)}{x^n}\right]=0-0=0$$

אבל $H$ פולינום לא-אפס ממעלה $m\le n$, כך שניתן לכתוב $H(x)=c_m{x}^m+\dots$ עם $c_m\ne 0$. אם $m<n$: $H(x)/x^n\to \infty$; אם $m=n$: $H(x)/x^n\to c_n\ne 0$. בשני המקרים הגבול אינו $0$ — סתירה. $■$

ראה גם

• פולינום מקלורן וטיילור
• כלל לופיטל
• האם פולינום מקלורן גורר גזירות