סיווג קיצון לפי נגזרות מסדר גבוה

סיווג נקודת קיצון לפי נגזרות מסדר גבוה

הטענה

תהי $f$ המוגדרת בסביבת $x_0$ וגזירה $n>1$ פעמים ב-$x_0$. נניח ש:

$$f^{\prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)=\cdots =f^{(n-1)}(x_0)=0,f^{(n)}(x_0)\ne 0$$

אז:

אם $n$ זוגי — $x_0$ היא נקודת קיצון:

• אם $f^{(n)}(x_0)>0$ אז $x_0$ נקודת מינימום מקומי.
• אם $f^{(n)}(x_0)<0$ אז $x_0$ נקודת מקסימום מקומי.

אם $n$ אי-זוגי — $x_0$ אינה נקודת קיצון (היא נקודת פיתול).

הוכחה

לפי משפט טיילור, בסביבת $x_0$ ומהנחות הטענה (כל הנגזרות עד $n-1$ מתאפסות), פולינום טיילור הוא:

$$P_n(x)=f(x_0)+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$$

לפיכך:

$$\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0{)}^n}=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}+\frac{R_n(x)}{(x-x_0{)}^n}$$

ממשפט טיילור, $\frac{R_n(x)}{(x-x_0{)}^n}\to 0$ כאשר $x\to x_0$, לכן:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0{)}^n}=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\ne 0$$

בסביבה מנוקבת מספיק קטנה של $x_0$, הביטוי $\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0{)}^n}$ שומר על הסימן של $\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$.

מקרה $n$ זוגי

מכיוון ש-$(x-x_0{)}^n>0$ לכל $x\ne x_0$, הסימן של $f(x)-f(x_0)$ שווה לסימן של $\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$, כלומר:

• אם $f^{(n)}(x_0)>0$: אז $f(x)>f(x_0)$ לכל $x$ בסביבה — נקודת מינימום.
• אם $f^{(n)}(x_0)<0$: אז $f(x)<f(x_0)$ לכל $x$ בסביבה — נקודת מקסימום.

מקרה $n$ אי-זוגי

הביטוי $(x-x_0{)}^n$ משנה סימן בנקודה $x_0$ (חיובי ל-$x>x_0$ ושלילי ל-$x<x_0$, כאשר $f^{(n)}(x_0)>0$). לכן $f(x)-f(x_0)$ גם משנה סימן סביב $x_0$, ולכן $x_0$ אינה נקודת קיצון. ■

דוגמאות

1. $f(x)=x^4$: $f^{\prime }(0)=f^{\prime \prime }(0)=f^{\prime \prime \prime }(0)=0$, $f^{(4)}(0)=24>0$. $n=4$ זוגי, לכן $x=0$ נקודת מינימום.
2. $f(x)=x^3$: $f^{\prime }(0)=f^{\prime \prime }(0)=0$, $f^{\prime \prime \prime }(0)=6\ne 0$. $n=3$ אי-זוגי, לכן $x=0$ אינה נקודת קיצון.
3. $f(x)=-x^6$: $f^{(6)}(0)=-720<0$. $n=6$ זוגי, לכן $x=0$ נקודת מקסימום.

ראה גם

• משפט טיילור
• נקודת קיצון
• נקודת פיתול
• משפט פרמה