נקודת קיצון

הגדרה

תהי $f:I\to \mathbb{R}$ פונקציה ותהי $x_0\in I$.

• $x_0$ היא נקודת מקסימום מקומי של $f$ אם קיימת סביבה $(x_0-\delta ,x_0+\delta )$ כך שלכל $x$ בסביבה מתקיים $f(x)\le f(x_0)$.
• $x_0$ היא נקודת מינימום מקומי של $f$ אם קיימת סביבה $(x_0-\delta ,x_0+\delta )$ כך שלכל $x$ בסביבה מתקיים $f(x)\ge f(x_0)$.
• נקודת קיצון היא נקודת מקסימום מקומי או נקודת מינימום מקומי.

אם האי-שוויון הוא ממש (כלומר $f(x)<f(x_0)$ לכל $x\ne x_0$ בסביבה) נקראת נקודת קיצון ממש (חזקה).

קיצון גלובלי

הנקודה $x_0$ היא נקודת מקסימום גלובלי אם לכל $x\in I$ מתקיים $f(x)\le f(x_0)$, ובאופן דומה נקודת מינימום גלובלי.

תכונות ומשפטים קשורים

• משפט פרמה: תנאי הכרחי לקיצון מקומי עבור פונקציה גזירה הוא $f^{\prime }(x_0)=0$.
• סיווג קיצון לפי נגזרות מסדר גבוה: שיטה לסיווג קיצון על פי הנגזרת הגבוהה הראשונה שאינה אפס.
• נקודה שבה $f^{\prime }(x_0)=0$ נקראת נקודה קריטית אך אינה חייבת להיות נקודת קיצון (ראו נקודת פיתול).

דוגמאות

1. עבור $f(x)=x^2$: הנקודה $x=0$ היא נקודת מינימום מקומי (וגם גלובלי).
2. עבור $f(x)=x^3$: הנקודה $x=0$ היא נקודה קריטית ($f^{\prime }(0)=0$) אך אינה נקודת קיצון — היא נקודת פיתול.
3. עבור $f(x)=|x|$: הנקודה $x=0$ היא נקודת מינימום גלובלי אך $f$ אינה גזירה שם.