משפט פרמה

המשפט

תהי $f$ פונקציה המוגדרת בסביבת $x_0$, גזירה בנקודה $x_0$. אם $x_0$ היא נקודת קיצון מקומי של $f$, אז:

$$f^{\prime }(x_0)=0$$

הוכחה

נניח ש-$x_0$ היא נקודת מקסימום מקומי (ההוכחה עבור מינימום סימטרית). כלומר, קיים $\delta >0$ כך שלכל $x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta )$ מתקיים $f(x)\le f(x_0)$.

נגזרת מימין: לכל $0<h<\delta$ מתקיים $f(x_0+h)\le f(x_0)$, ולכן:

$$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\le 0$$

במעבר לגבול ($h\to 0^{+}$) נקבל $f_{+}^{\prime }(x_0)\le 0$.

נגזרת משמאל: לכל $-\delta <h<0$ מתקיים $f(x_0+h)\le f(x_0)$, ולכן:

$$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\ge 0$$

(חלוקה במספר שלילי $h$ הופכת את האי-שוויון). במעבר לגבול ($h\to 0^{-}$) נקבל $f_{-}^{\prime }(x_0)\ge 0$.

מכיוון ש-$f$ גזירה ב-$x_0$, שתי הנגזרות החד-צדדיות שוות ל-$f^{\prime }(x_0)$. לפיכך:

$$0\le f_{-}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)\le 0$$

ומכאן $f^{\prime }(x_0)=0$. $■$

הערות חשובות

1. הכיוון ההפוך אינו נכון: $f^{\prime }(x_0)=0$ אינו מבטיח קיצון. לדוגמה, $f(x)=x^3$ מקיימת $f^{\prime }(0)=0$ אך $x=0$ אינה נקודת קיצון.
2. ייתכן קיצון ללא $f^{\prime }(x_0)=0$: אם $f$ לא גזירה ב-$x_0$ — למשל $f(x)=|x|$ שיש לה מינימום ב-$0$ אך אינה גזירה שם.
3. נקודות קריטיות: נקודות שבהן $f^{\prime }(x_0)=0$ נקראות נקודות קריטיות. הן מועמדות לקיצון.

ראה גם

• סיווג קיצון לפי נגזרות מסדר גבוה
• נקודת קיצון
• נקודת פיתול