פונקציה אנליטית

הגדרה

תהי $f$ פונקציה המוגדרת בקטע פתוח $I$. הפונקציה $f$ אנליטית ב-$I$ אם לכל $x_0\in I$ הפונקציה $f$ ניתנת לפיתוח לטור חזקות סביב $x_0$ בסביבה כלשהי של $x_0$:

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n\forall x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta )$$

עבור $\delta >0$ כלשהו.

שקילות: הפונקציה $f$ אנליטית ב-$I$ אם ורק אם $f$ גזירה אינסוף פעמים ב-$I$ ולכל $x_0\in I$ טור טיילור של $f$ סביב $x_0$ מתכנס אל $f$ בסביבה כלשהי של $x_0$.

דוגמאות: פונקציות אנליטיות בכל $\mathbb{R}$

הפונקציה $e^x$, הפונקציה $\sin x$, הפונקציה $\cos x$ — לכל $x_0$ הנגזרות חסומות במשותף בסביבה חסומה, לכן לפי אם הנגזרות חסומות במשותף פולינומי טיילור מתכנסים נקודתית לפונקציה טור טיילור מתכנס.

דוגמה: פונקציה אנליטית בחלק מהציר

הפונקציה $\frac{1}{1-x}$ אנליטית ב-$(-\infty ,1)$ וב-$(1,\infty )$ בנפרד. בקטע $(-1,1)$:

$$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n$$

דוגמה: פיתוח לטור חזקות

נפתח את $f(x)=\frac{x}{3+x^2}$ לטור חזקות. לכל $|y|<1$:

$$\frac{1}{1-y}=\sum _{n=0}^{\infty }{y}^n$$

נכתוב:

$$f(x)=\frac{x}{3}\cdot \frac{1}{1+\frac{x^2}{3}}=\frac{x}{3}\cdot \frac{1}{1-\left(-\frac{x^2}{3}\right)}$$

עבור $|x|<\sqrt{3}$ (כלומר $\left|\frac{x^2}{3}\right|<1$):

$$f(x)=\frac{x}{3}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{3^n}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{3^{n+1}}$$

דוגמת נגד: פונקציה לא אנליטית

הפונקציה:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-1/x^2}& x\ne 0\\ 0& x=0\end{array}$$

גזירה אינסוף פעמים ב-$0$ (כל הנגזרות מתאפסות ב-$0$), אך טור מקלורן שלה הוא אפס ואינו מתכנס אל $f$ באף סביבה פתוחה של $0$.

הערה

כל פונקציה אנליטית גזירה אינסוף פעמים, אך ההיפך אינו נכון — ראו הדוגמת הנגד.

ראה גם

• יחידות ייצוג כטור חזקות
• גזירה איבר איבר של טורי חזקות
• פולינום מקלורן וטיילור
• טור חזקות
• אם הנגזרות חסומות במשותף פולינומי טיילור מתכנסים נקודתית לפונקציה