רישא של סודר היא סודר

הטענה

אם $\beta$ הוא סודר ו-$\alpha \subseteq \beta$ היא רישא של $\beta$ (כלומר אם $x\in \alpha$ ו-$y\in x$ אז $y\in \alpha$), אז $\alpha$ הוא סודר.

הוכחה

כיוון שתת-קבוצה של קבוצה סדורה היטב תמיד סדורה היטב עם הסדר המושרה, מספיק להוכיח ש-$\alpha$ קבוצה טרנזיטיבית.

יהי $x\in \alpha$; אז $x\in \beta$, ומטרנזיטיביות $\beta$ נובע $x\subseteq \beta$. יהי $y\in x$ (כלומר $y<x$ ביחס $\in$); מכיוון ש-$\alpha$ רישא ו-$y<x\in \alpha$, מתקיים $y\in \alpha$. ולכן $x\subseteq \alpha$, כנדרש. ■

ראה גם

• סודר
• קבוצה טרנזיטיבית
• עקרון הסדר הטוב
• תת-קבוצה ממש של סודר היא איבר בו