מחלקת הסודרים סדורה היטב

הטענה

מחלקת הסודרים $\text{Ord}$ סדורה היטב על ידי יחס השייכות $\in$: לכל תת-מחלקה לא-ריקה $S\subseteq \text{Ord}$ יש איבר מזערי ביחס ל-$\in$.

הוכחה

תהי $S\subseteq \text{Ord}$ לא-ריקה. ניקח $\alpha \in S$ כלשהו.

אם $\alpha$ הוא האיבר המזערי של $S$ — סיימנו.

אחרת, $S_{\alpha }=S\cap \alpha \ne \varnothing$. מכיוון ש-$\alpha$ הוא סודר, הוא עצמו סדור היטב על ידי $\in$, לכן ל-$S_{\alpha }\subseteq \alpha$ יש איבר מזערי $\beta$.

נטען ש-$\beta$ הוא האיבר המזערי של $S$ כולה: יהי $\delta \in S$ כלשהו. לפי כל שני סודרים ניתנים להשוואה, $\beta \in \delta$, $\delta \in \beta$, או $\beta =\delta$. אם $\delta \in \beta$, אז מטרנזיטיביות $\beta$ מתקיים $\delta \in \alpha$, ולכן $\delta \in S_{\alpha }$ — סתירה למזעריות $\beta$ ב-$S_{\alpha }$. לכן $\beta \in \delta$ או $\beta =\delta$, כלומר $\beta$ מזערי ב-$S$. ■

ראה גם

• סודר
• כל שני סודרים ניתנים להשוואה
• עקרון הסדר הטוב