כל קבוצה סדורה היטב איזומורפית לסודר יחיד

הטענה

אם $(A,<)$ קבוצה סדורה היטב, קיים סודר יחיד ${\alpha }_A$ כך ש-:

$$(A,<)\cong ({\alpha }_A,\in )$$

הסודר ${\alpha }_A$ נקרא טיפוס הסדר (order type) של $(A,<)$.

יחידות

נניח ש-$\alpha \cong \beta$ עבור שני סודרים $\alpha ,\beta$. לפי כל שני סודרים ניתנים להשוואה, $\alpha \subseteq \beta$ או $\beta \subseteq \alpha$, כלומר אחד הוא רישא של השני. ניתן להוכיח שסדר טוב אינו איזומורפי לרישא ממשית שלו. לכן $\alpha =\beta$, ומכאן היחידות.

קיום

ההוכחה משתמשת באקסיומת ההחלפה. עבור כל $a\in A$, הרישא $A_{<a}=\{x\in A:x<a\}$ היא קבוצה סדורה היטב קטנה יותר מ-$A$. מגדירים בהשראת אינדוקציה טרנסינסופית פונקציית מחלקה $F$ שמעבירה כל $a$ לסודר המייצג את $A_{<a}$.

אקסיומת ההחלפה מבטיחה שתמונת $A$ תחת $F$ היא קבוצה $X$. האיחוד ${\alpha }_A=\bigcup X$ הוא הסודר הדרוש.

ראה גם

• סודר
• כל שני סודרים ניתנים להשוואה
• מחלקת הסודרים סדורה היטב
• פונקציית מחלקה
• עקרון הסדר הטוב
• איזומורפיזם