הפולינום האופייני

הגדרה

עבור מטריצה $A \in M_{n} (F)$ , הפולינום האופייני מוגדר:

P_{A} (x) = det (A - x I_{n})

הסקלר $λ$ הוא ערך עצמי של $A$ אם ורק אם:

det (A - λ I) = 0 ⟺ P_{A} (λ) = 0

לכן ערכים עצמיים הם שורשי הפולינום האופייני.

הפולינום האופייני הוא מתוקן וממעלת המימד: $P_{A}$ הוא פולינום מתוקן (המקדם המוביל הוא $(- 1)^{n}$ ) ממעלה $n = dim V$ .
למטריצות דומות יש את אותו הפולינום האופייני: אם $B = P^{- 1} A P$ אז $P_{A} = P_{B}$ . לכן ניתן להגדיר $P_{T}$ עבור אופרטור ליניארי $T$ ללא תלות בבחירת הבסיס.
מקדמים: עבור הפולינום

P_{A} (x) = i = 0 \sum n a_{i} x^{i}

מתקיים: $a_{0} = (- 1)^{n} det (A)$ ו- $a_{n - 1} = (- 1)^{n - 1} tr (A)$ .

עבור $T : V \to V$ אופרטור ליניארי, נגדיר $P_{T} := P_{[T]_{B}}$ עבור בסיס $B$ כלשהו. ממשפט למטריצות דומות יש את אותו הפולינום האופייני, הגדרה זו לא תלויה בבחירת $B$ .

A = (a c b d) : P_{A} (x) = (a - x) (d - x) - b c = x^{2} - (a + d) x + (a d - b c) = x^{2} - tr (A) x + det (A)

תהי $U = (1011)$ : $P_{U} (x) = (x - 1)^{2}$ . הערך העצמי היחיד הוא $λ = 1$ .

ולכן $V_{1} = ker (U - I) = ker (00 - 1 0) = span {(10)}$

נקבל $dim V_{1} = 1 < 2$ , לכן $U$ אינה לכסינה.