מבחן קושי להתכנסות טורים חיוביים (מבחן השורש)

הטענה — גרסה ישירה

יהי $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ טור חיובי:

אם קיים $q \in (0, 1)$ ו- $N \in N$ כך שלכל $n > N$ מתקיים $n a_{n} \leq q$ — הטור מתכנס.
אם עבור אינסוף ערכים של $n$ מתקיים $n a_{n} \geq 1$ — הטור מתבדר (כי $a_{n} \neq \to 0$ ).

הוכחה

חלק 1: מהנתון לכל $n > N$ : $a_{n} \leq q^{n}$ . מכיוון ש- $\sum q^{n}$ מתכנס (טור גיאומטרי עם $∣ q ∣ < 1$ ), לפי מבחן ההשוואה הראשון גם $\sum a_{n}$ מתכנס. $■$

חלק 2: לאינסוף ערכי $n$ מתקיים $a_{n} \geq 1$ , לכן $a_{n} \neq \to 0$ , ולפי תנאי הכרחי להתכנסות טורים הטור מתבדר. $■$

הטענה — גרסה גבולית

יהי $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ טור חיובי ונסמן $L = lim sup_{n \to \infty} n a_{n}$ . אז:

אם $L < 1$ — הטור מתכנס.
אם $L > 1$ — הטור מתבדר.
אם $L = 1$ — המבחן אינו קובע.

הוכחה (גרסה גבולית)

מקרה $L < 1$ : בוחרים $q \in (L, 1)$ . מהגדרת $lim sup$ , קיים $N$ כך שלכל $n > N$ : $n a_{n} < q$ . לפי הגרסה הישירה הטור מתכנס.

מקרה $L > 1$ : קיימת תת-סדרה עם $n_{k} a_{n_{k}} \to L > 1$ , כלומר $a_{n_{k}} \to \infty$ (בפרט $a_{n} \neq \to 0$ ). הטור מתבדר.

מקרה $L = 1$ : $\sum \frac{1}{n}$ מתבדר ו- $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ מתכנס, ועבור שניהם $L = 1$ .

הקשר למבחן דאלמבר

ניתן להוכיח:

lim inf \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} \leq lim inf n a_{n} \leq lim sup n a_{n} \leq lim sup \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}

לכן מבחן קושי (השורש) חזק יותר ממבחן דאלמבר (המנה): בכל מקום שדאלמבר קובע, גם קושי קובע (אבל לא ההפך).

ויקי מתמטיקה

סייר

מבחן קושי להתכנסות טורים חיוביים

מבחן קושי להתכנסות טורים חיוביים (מבחן השורש)

הטענה — גרסה ישירה

הוכחה

הטענה — גרסה גבולית

הוכחה (גרסה גבולית)

הקשר למבחן דאלמבר

ראה גם

מבט גרף

תוכן עניינים

קישורים חוזרים