פולינום טיילור לא מתכנס נקודתית לפונקציה בהכרח

הטענה

קיימת פונקציה חלקה (גזירה אינסוף פעמים) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ כך שסדרת פולינומי מקלורן $P_n(x)$ אינה מתכנסת ל-$f(x)$ עבור $x\ne 0$.

הדוגמה הקלאסית

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-1/x^2}& x\ne 0\\ 0& x=0\end{array}$$

טענה: $f^{(k)}(0)=0$ לכל $k\ge 0$, לכן $P_n(x)=0$ לכל $n$. אבל $f(x)>0$ לכל $x\ne 0$.

הוכחה שכל הנגזרות ב-$0$ מתאפסות

למה: לכל פולינום $p(x)$ ולכל $k\ge 0$:

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }p\left(\frac{1}{x}\right)e^{-1/x^2}=0$$

הוכחת הלמה: בהצבה $t=1/x\to \infty$: ${\lim }_{t\to \infty }p(t)e^{-t^2}=0$ כי הפונקציה $e^{-t^2}$ קטנה מהר יותר מכל פולינום.

אינדוקציה: נוכיח $f^{(n)}(0)=0$ לכל $n$.

• בסיס: $f(0)=0$ לפי הגדרה.
• צעד: ניתן להראות שעבור $x\ne 0$: $f^{(n)}(x)=p_n(1/x)\cdot e^{-1/x^2}$ לאיזשהו פולינום $p_n$. אז: $$f^{(n+1)}(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f^{(n)}(x)-f^{(n)}(0)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{p_n(1/x)e^{-1/x^2}}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }q(1/x)e^{-1/x^2}=0$$ מהלמה (עם פולינום $q(t)=t\cdot p_n(t)$). $■$

מסקנה

נובע $P_n(x)=0$ לכל $n$, אבל $f(x)=e^{-1/x^2}\ne 0$ לכל $x\ne 0$.

כלומר, הסדרה $P_n(x)\to 0$ בעוד $f(x)>0$. הפולינומים לא מתכנסים לפונקציה.

אינטואיציה

הפונקציה “שטוחה” כל כך סביב $0$ — היא שואפת לאפס מהר יותר מכל חזקת $x$ — שכל הנגזרות שלה ב-$0$ מתאפסות. הפולינום מקלורן “לא מרגיש” שהפונקציה אינה אפס.

left=-3;right=3;
top=1.5;bottom=-0.5;
---
f(x)=e^{-1/x^2}

הערה

ישנם תנאים שמבטיחים שסדרת טיילור כן מתכנסת לפונקציה. ראו אם הנגזרות חסומות במשותף פולינומי טיילור מתכנסים נקודתית לפונקציה.

ראה גם

• פולינום מקלורן וטיילור
• אם הנגזרות חסומות במשותף פולינומי טיילור מתכנסים נקודתית לפונקציה
• שארית בצורת לגרנז’