אם טור מתכנס בהחלט אז הוא מתכנס

הטענה

אם $\sum_{n = 0}^{\infty} ∣ a_{n} ∣$ מתכנס (כלומר $\sum a_{n}$ מתכנס בהחלט), אז גם $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$ מתכנס.

לכל $n$ מתקיים:

0 \leq a_{n} + ∣ a_{n} ∣ \leq 2∣ a_{n} ∣

הטור $\sum 2∣ a_{n} ∣$ מתכנס (כי $\sum ∣ a_{n} ∣$ מתכנס). לפי מבחן ההשוואה הראשון, גם $\sum (a_{n} + ∣ a_{n} ∣)$ מתכנס.

\sum a_{n} = \sum (a_{n} + ∣ a_{n} ∣) - \sum ∣ a_{n} ∣

הפרש של שני טורים מתכנסים הוא מתכנס. $■$

ההיפך אינו נכון: $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ מתכנס (לפי מבחן לייבניץ) אך $\sum \frac{1}{n}$ מתבדר — לכן הטור הראשון מתכנס בתנאי ולא בהחלט.