קבוצת החתכים היא סדר שלם

הטענה

הסדר $(X^{\prime },\subset )$, שהוא קבוצת כל חתכי דדקינד של סדר קווי צפוף $(X,<)$, הוא סדר שלם.

הוכחה

תהי $A\subseteq X^{\prime }$ תת-קבוצה לא-ריקה של חתכים, חסומה מלעיל (קיים חתך $B$ כך ש-$D\subseteq B$ לכל $D\in A$).

נגדיר:

$$C:=\bigcup _{D\in A}D$$

$C$ הוא חתך ב-$X$:

1. סגור מלמטה: אם $x\in C$ ו-$y<x$, אז $x\in D$ עבור $D\in A$ כלשהו, ומסגירות $D$ מלמטה: $y\in D\subseteq C$.
2. אין מקסימום: לכל $x\in C$, יש $D\in A$ עם $x\in D$. מכיוון של-$D$ אין מקסימום, קיים $x^{\prime }\in D$ עם $x^{\prime }>x$, ולכן $x^{\prime }\in C$.

$C$ הוא חסם עליון של $A$: לכל $D\in A$ מתקיים $D\subseteq C$ ישירות מהגדרת $C=\bigcup A$.

$C$ הוא סופרמום (חסם עליון מינימלי): נניח $C_0\subset C$ (הכלה ממש) ואפשר $C_0$ חסם עליון של $A$. אז קיים $y\in C\setminus C_0$. מהגדרת $C$, $y\in D$ עבור $D\in A$ כלשהו. לפיכך $D⊈C_0$ — סתירה לכך ש-$C_0$ חסם עליון. $■$

הערה

הקבוצה $X^{\prime }$ נקראת השלמת דדקינד של $X$ — היא הסדר השלם הקטן ביותר המכיל את $X$ כתת-קבוצה צפופה.

ראה גם

• חתך דדקינד
• שלמות דדקינד
• המספרים הממשיים