איחוד סודר עם האיבר שלו הוא סודר

הטענה

אם $\alpha$ הוא סודר, אז $\alpha \cup \{\alpha \}$ הוא סודר.

הוכחה

נסמן $\beta =\alpha \cup \{\alpha \}$. עלינו להראות ש-$\beta$ טרנזיטיבית וסדורה היטב על ידי $\in$.

טרנזיטיביות: יהי $x\in \beta$; נראה ש-$x\subseteq \beta$.

• אם $x\in \alpha$: מכיוון ש-$\alpha$ סודר (טרנזיטיבי), מתקיים $x\subseteq \alpha \subseteq \beta$.
• אם $x\notin \alpha$: אז $x=\alpha$, ומהגדרת $\beta$ מתקיים $\alpha \subseteq \alpha \cup \{\alpha \}=\beta$.

סדר טוב: מספיק להוכיח ש-$\in$ הוא סדר קווי על $\beta$ ושהאיבר $\alpha$ הוא מקסימום של $\beta$; ממינימליות של $\alpha$ ומתכונות סדר טוב ינובע ש-$\beta$ סדורה היטב.

יהיו $x,y\in \beta$:

• אם $x,y\in \alpha$: ניתנים להשוואה כי $\alpha$ סדורה קווית.
• אחרת (בלי הגבלת הכלליות) $x=\alpha$: אם $y\ne \alpha$ אז $y\in \alpha =x$, ולכן $y\in x$. ■

ראה גם

• סודר
• קבוצה טרנזיטיבית
• עקרון הסדר הטוב