פונקציית מחלקה

פונקציית מחלקה ואקסיומת ההחלפה

הגדרה: פונקציית מחלקה

פונקציית מחלקה היא מחלקה $F$ של זוגות סדורים כך שלכל $x,y,z$ מתקיים:

$$(x,y)\in F\wedge (x,z)\in F\Rightarrow y=z$$

כלומר, לכל $x$ יש לכל היותר $y$ אחד כך ש-$(x,y)\in F$.

הערה: זו הכללה של פונקציה רגילה — ההבדל הוא שהתחום והטווח יכולים להיות מחלקות (לאו דווקא קבוצות).

אקסיומת ההחלפה

אם $F$ פונקציית מחלקה ו-$W$ קבוצה, אז תמונת $W$ תחת $F$:

$$F(W)=\{y:\exists x\in W,(x,y)\in F\}$$

היא קבוצה.

אינטואיציה: האקסיומה אומרת שאם “נחליף” (replace) כל איבר של קבוצה בדבר מה על פי כלל אחיד, נקבל קבוצה. בלי האקסיומה, $F(W)$ יכולה להיות מחלקה גדולה מדי.

שימוש בתורת הסודרים

האקסיומה משמשת בהוכחת כל קבוצה סדורה היטב איזומורפית לסודר יחיד: הפונקציה המעבירה כל רישא של $A$ לסודר המייצג שלה היא פונקציית מחלקה. אקסיומת ההחלפה מבטיחה שאוסף כל הסודרים המיוצגים הוא קבוצה, ממנה מסיקים את קיום ${\alpha }_A$.

ראה גם

• סודר
• העולם של הקבוצות
• כל קבוצה סדורה היטב איזומורפית לסודר יחיד