תת מרחב T-שמור

הגדרה

יהי $T : V \to V$ אופרטור ליניארי. תת מרחב $W \subseteq V$ נקרא $T$ -שמור (או $T$ -אינווריאנטי) אם לכל $w \in W$ מתקיים $Tw \in W$ .

כאשר $W$ הוא $T$ -שמור, ניתן להגדיר את אופרטור הצמצום $T ∣_{W} : W \to W$ על ידי $T ∣_{W} (w) = Tw$ .

נניח כי מתקיים סכום ישר:

V = i = 1 ⨁ m V_{i}

וכי כל $V_{i}$ הוא $T$ -שמור. נסמן $T_{i} := T ∣_{V_{i}}$ . לכל $v \in V$ עם ההצגה היחידה:

v = i = 1 \sum m v_{i}

(כאשר $v_{i} \in V_{i}$ ) מתקיים:

T v = i = 1 \sum m T_{i} v_{i}

אם $B_{i}$ בסיס ל- $V_{i}$ לכל $i$ ו- $B = ⋃_{i} B_{i}$ , אז המטריצה המייצגת של $T$ בבסיס $B$ היא מטריצה בלוק-אלכסונית:

[T]_{B} = [T]_{B_{1}} 0 ⋮ 0 0 [T]_{B_{2}} 0 \dots \dots ⋱ \dots 00 ⋮ [T]_{B_{m}}