שילושים

שילושים (Triangularization)

הגדרות

אופרטור ניתן לשילוש

אופרטור $T:V\to V$ ניתן לשילוש אם קיים בסיס $\mathcal{B}$ של $V$ כך ש-$[T{]}_{\mathcal{B}}$ היא מטריצה משולשית עליונה.

מטריצה ניתנת לשילוש

מטריצה $A\in M_n(F)$ ניתנת לשילוש אם היא דומה למטריצה משולשית עליונה: קיימת $P\in M_n(F)$ הפיכה ו-$U$ משולשית עליונה עם $A=P^{-1}UP$.

שקילות עם פיצול הפולינום האופייני

משפט: $A\in M_n(F)$ ניתנת לשילוש אם ורק אם $P_A(x)$ מתפצל לגורמים ליניאריים ב-$F[x]$:

$$P_A(x)=(x-{\lambda }_1)(x-{\lambda }_2)\cdots (x-{\lambda }_n)$$

הוכחה

$(\Rightarrow )$ נניח $A$ ניתנת לשילוש: $A=P^{-1}UP$ עם $U$ משולשית עליונה. כי $A\sim U$, יש להן אותו הפולינום האופייני. עבור $U$ משולשית עליונה עם ערכי אלכסון ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$:

$$P_U(x)=\det (xI-U)=(x-{\lambda }_1)(x-{\lambda }_2)\cdots (x-{\lambda }_n)$$

(הדטרמיננטה של מטריצה משולשית היא מכפלת האלכסון). לכן $P_A=P_U$ מתפצל. $■$

$(\Leftarrow )$ נניח $P_A(x)=(x-{\lambda }_1)\cdots (x-{\lambda }_n)$. נוכיח באינדוקציה על $n$:

• בסיס $n=1$: טריוויאלי (מטריצה $1\times 1$ כבר משולשית).
• צעד $n\to n$: ${\lambda }_1$ ערך עצמי, קיים $v_1\ne 0$ עם $A{v}_1={\lambda }_1{v}_1$. נשלים $v_1$ לבסיס $\mathcal{B}=\{v_1,u_2,\dots ,u_n\}$ של $F^n$ ונחשב $C^{-1}AC$ (שינוי בסיס):

$$C^{-1}AC=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& \ast & \cdots & \ast \\ 0& & & \\ ⋮& & A^{\prime }& \\ 0& & & \end{array}\right)$$

כי $A{v}_1={\lambda }_1{v}_1$ מאפס את העמודה הראשונה מתחת לאלכסון. למטריצות דומות יש את אותו הפולינום האופייני: $P_A=(x-{\lambda }_1)P_{A^{\prime }}$, לכן $P_{A^{\prime }}=(x-{\lambda }_2)\cdots (x-{\lambda }_n)$ מתפצל. מהאינדוקציה: $A^{\prime }$ ניתנת לשילוש, $A^{\prime }\sim U^{\prime }$ משולשית. נחבר:

$$C^{-1}AC=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \cdots \\ 0& U^{\prime }\end{array}\right)$$

— מטריצה משולשית עליונה. $■$

מסקנה: שילוש מעל $\mathbb{C}$

מעל $\mathbb{C}$, כל מטריצה ניתנת לשילוש, כי מהמשפט הבסיסי של האלגברה, כל פולינום (ובפרט $P_A$) מתפצל לחלוטין לגורמים ליניאריים.

מעל $\mathbb{R}$, לא כל מטריצה ניתנת לשילוש (למשל, סיבוב ב-$90°$).

תרגיל: כפל מטריצות בלוקים

$$\left(\begin{array}{cc}A& E\\ 0& C\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}B& F\\ 0& D\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}AB& AF+ED\\ 0& CD\end{array}\right)$$

זה שימושי בהוכחת תכונות מטריצות בלוקים בהוכחת שילוש.

ראה גם

• לכסון
• הפולינום האופייני
• דמיון מטריצות
• משפט קיילי המילטון
• פריקות יחידה בחוג הפולינומים