הצבת אופרטור בפולינום

הגדרה

יהי פולינום $f \in F [x]$ , כאשר:

f (x) = i = 0 \sum n a_{i} x^{i}

ויהי $T : V \to V$ אופרטור ליניארי. הצבת $T$ ב- $f$ מוגדרת:

f (T) := a_{n} T^{n} + a_{n - 1} T^{n - 1} + \dots + a_{1} T + a_{0} \cdot Id_{V}

כאשר $T^{0} = Id_{V}$ , $T^{k} = T \circ T \circ \dots \circ T$ ( $k$ פעמים).

באופן דומה, עבור מטריצה $A \in M_{n} (F)$ :

f (A) := a_{n} A^{n} + \dots + a_{1} A + a_{0} I_{n}

הביטוי $f (T)$ הוא אופרטור ליניארי. יתרה מכך, לכל $f, g \in F [x]$ :

f (T) \circ g (T) = g (T) \circ f (T) = (f g) (T)

(פולינומים של אותו אופרטור מתחלפים ביניהם.)

משפט קיילי המילטון: $P_{A} (A) = 0$ .
הפולינום המינימלי: הפולינום המתוקן הממעלה הנמוכה ביותר שמאפס את $A$ .
מוטיבציה: אם $f = \prod_{i} (x - λ_{i})$ אז $f (T) = \prod_{i} (T - λ_{i} Id)$ .