תרגול אינפי 2 בתאריך 16.4

נושאים

• משפט טיילור
• שארית בצורת לגרנז’
• התכנסות טורים

תרגיל 1

תהיי $f(x)=e^x$ ויהי $P_n(x)$ פולינום מקלורן של $f$ מסדר $n$, הוכיחו ש $f(x)>P_n(x)$ לכל $n$ ולכל $x>0$.

הוכחה

נשתמש במשפט טיילור, לכל $n$ ולכל $\delta >0$ קיים $c_{\delta }$ כל ש $f(x)=P_n(x)+\frac{f^{(n+1)}(c_{\delta })}{(n+1)!}(x-x_0)$ השארית, $\frac{f^{(n+1)}(c_{\delta })}{(n+1)!}(x-x_0)>0$ אז $f(x)>P_n(x)$ כמו שרצינו.

תרגיל 2

מצאו מספר טבעי $n\in \mathbb{N}$ כך שמתקיים $\frac{n}{1000}\le \sin (0.1)\le \frac{n+1}{1000}$

פתרון

אנחנו יודעים ש $\sin (x)<x$ לכל $x>0$ בפרט, $\sin (0.1)<\frac{100}{1000}$ לכן ננסה לבדוק אם $n=99$ עובד. בשביל האי שוויון השני, נשתמש במשפט טיילור עבור $n=3$. אז פולינום טיילור מסדר $3$ הוא:

$$\sin (0.1)=f(0)+\frac{f^{\prime }(0)}{1}0.1+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}0.1^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{3!}0.1^3+\frac{f^{(4)}(c)}{4!}0.1^4$$ $$\sin (0.1)=0.1-\frac{1}{3!}0.1^3+\frac{\sin (c)}{4!}0.1^4>0.1-\frac{1}{6}0.1^3>\frac{1}{10}-\frac{1}{1000}=\frac{99}{1000}$$

כלומר $n=99$ מקיים את הנדרש.

תרגיל 3

תהא $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ פונקציה רציפה, שגזירה פעמיים ב$(0,1)$ ונניח ש $f(0)=f(1)=0$ ויהי $m<0$ המינימום של $f$ בקטע $[0,1]$.

סעיפים

• הוכיחו שקיים $c\in (0,1)$ כך ש $f^{\prime \prime }(c)>-8m$
• הראו שאם היינו מניחים ש $m=0$ אז הטענה בסעיף הראשון לא הייתה בהכרח נכונה

פתרון

הוכחת סעיף א’

נשתמש במשפט טיילור ובשארית בצורת לגרנז’ עבור $n=1$ (השארית היא $n=2$) עבור $x_0$ נקודת המינימום של $f$ בקטע (היא נמצאת בקטע הפתוח כי $f(0)=f(1)=0>m$).

$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(t_x)}{2}(x-x_0{)}^2=m+\frac{f^{\prime \prime }(t_x)}{2}(x-x_0{)}^2$$

נציב את $x=1,0$

$$f(0)=m+\frac{f^{\prime \prime }(t_0)}{2}(x_0{)}^2=0$$ $$f(1)=m+\frac{f^{\prime \prime }(t_1)}{2}(1-x_0{)}^2=0$$

נעביר אגפים ואחרי קצת אלגברה נקבל

$$f^{\prime \prime }(t_0)=\frac{-2m}{x_0^2}{f}^{\prime \prime }(t_1)=\frac{-2m}{(1-x_0{)}^2}$$

אם $x_0\le \frac{1}{2}$ אז $x_0^2\le \frac{1}{4}$ ולכן $f^{\prime \prime }(t_0)\ge -8m$, ואם $x_0\ge \frac{1}{2}$ אז $1-x_0<\frac{1}{2}$ ולכן $f^{\prime \prime }(t_1)\ge -8m$ ובכל מקרה, מצאנו נקודה בקטע $(0,1)$ המקיימת את הנדרש

דוגמה של סעיף ב’

נקח לדוגמא את $f(x)=x-x^2$

left=-0.1;right=1.2;
top=0.3;bottom=-0.02;
---
f(x)=x-x^2|x>=0|x<=1
 

אז בדוגמה הזאת, משום שהפונקציה קעורה הנגזרת השנייה שלה שלילית אבל אז אין נקודה $c$ המקיימת ש $f^{\prime \prime }(c)\ge 0$

תרגיל 5

תהיי $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ פונקציה רציפה וגזירה פעמיים בקטע הפתוח $(0,1)$, נניח ש$f(0)=f(1)=0$, ונניח ש $\left|f^{\prime \prime }(x)\right|\le 100$ לכל $x\in (0,1)$, הוכיחו ש $f^{\prime }(\frac{1}{2})\le 25$.

הוכחה

נשתמש במשפט טיילור ובשארית בצורת לגרנז’ עבור $n=1$ עבור $x_0=\frac{1}{2}$ ונציב פעם $x=0$ ופעם $x=1$. אז

$$f(x)=f\left(\frac{1}{2}\right)+f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{f^{\prime \prime }(t_x)}{2}{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2$$ $$f(0)=f\left(\frac{1}{2}\right)-f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)\frac{1}{2}+\frac{f^{\prime \prime }(t_0)}{8}=0$$ $$f(1)=f\left(\frac{1}{2}\right)+f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)\frac{1}{2}+\frac{f^{\prime \prime }(t_1)}{8}=0$$

נחסר את שני המשוואות ונקבל

$$f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{f^{\prime \prime }(t_1)-f^{\prime \prime }(t_0)}{8}=0$$ $$f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{f^{\prime \prime }(t_0)-f^{\prime \prime }(t_1)}{8}\le \frac{100+100}{8}=25$$

כמו שרצינו.

טורים

דיברנו בהרצאה על הגדרה של טור ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ (התכנסות טורים) על ידי הגבול של סדרת הסכומים החלקיים $S_k=a_1+\cdots +a_k$.

הגדרת זנב