משפט קושי (משפט הערך הביניים המוכלל)

המשפט

יהיו $f, g : [a, b] \to R$ פונקציות רציפות בקטע הסגור $[a, b]$ וגזירות בקטע הפתוח $(a, b)$ . נניח ש- $g^{'} (x) \neq = 0$ לכל $x \in (a, b)$ .

אז קיימת נקודה $c \in (a, b)$ כך ש:

\frac{f ^{'} ( c )}{g ^{'} ( c )} = \frac{f ( b ) - f ( a )}{g ( b ) - g ( a )}

ראשית, נשים לב ש- $g (b) \neq = g (a)$ : אם $g (b) = g (a)$ אז לפי משפט לגרנז קיים $c$ כך ש- $g^{'} (c) = 0$ , בסתירה להנחה.

נגדיר פונקציה עזר:

h (x) = f (x) - \frac{f ( b ) - f ( a )}{g ( b ) - g ( a )} \cdot (g (x) - g (a))

נבדוק ש- $h$ מקיימת את תנאי משפט רול:

$h$ רציפה בקטע $[a, b]$ (כצירוף ליניארי של פונקציות רציפות).
$h$ גזירה בקטע הפתוח $(a, b)$ .
$h (a) = f (a) - \frac{f ( b ) - f ( a )}{g ( b ) - g ( a )} \cdot 0 = f (a)$ .
$h (b) = f (b) - \frac{f ( b ) - f ( a )}{g ( b ) - g ( a )} \cdot (g (b) - g (a)) = f (b) - (f (b) - f (a)) = f (a)$ .

לפיכך $h (a) = h (b)$ , ולפי משפט רול קיים $c \in (a, b)$ כך ש- $h^{'} (c) = 0$ :

h^{'} (c) = f^{'} (c) - \frac{f ( b ) - f ( a )}{g ( b ) - g ( a )} \cdot g^{'} (c) = 0

מכיוון ש- $g^{'} (c) \neq = 0$ נחלק ונקבל:

\frac{f ^{'} ( c )}{g ^{'} ( c )} = \frac{f ( b ) - f ( a )}{g ( b ) - g ( a )}

■

אם בוחרים $g (x) = x$ מקבלים את משפט לגרנז הרגיל:

f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}

משפט קושי הוא הכלי המרכזי בהוכחת כלל לופיטל.