מבחן ההשוואה למנות הסדרה

מבחן ההשוואה למנות הסדרה (Raabe)

הטענה

יהיו ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ ו-${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$ שני טורים חיוביים ממש. אם לכל $n\in \mathbb{N}$ מתקיים:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}\le \frac{b_{n+1}}{b_n}$$

אז אם $\sum b_n$ מתכנס גם $\sum a_n$ מתכנס.

הוכחה

מכפילים את כל האי-שוויונות:

$$\frac{a_2}{a_1}\le \frac{b_2}{b_1},\frac{a_3}{a_2}\le \frac{b_3}{b_2},\dots ,\frac{a_{n+1}}{a_n}\le \frac{b_{n+1}}{b_n}$$

כפל “טלסקופי” של כל האי-שוויונות:

$$\frac{a_{n+1}}{a_1}\le \frac{b_{n+1}}{b_1}$$

לפיכך:

$$a_{n+1}\le \frac{a_1}{b_1}\cdot b_{n+1}$$

לפי מבחן ההשוואה הראשון, אם $\sum b_n$ מתכנס גם $\sum a_n$ מתכנס. $■$

אינטואיציה

אם הסדרה $a_n$ “קורסת” מהר לפחות כמו $b_n$ (כלומר המנות הרצופות של $a_n$ קטנות מאלה של $b_n$), אז הטור של $a_n$ קטן מהטור של $b_n$ (עד לקבוע כפלי).

ראה גם

• מבחן ההשוואה הראשון
• מבחן המנה של דאלמבר (בניסוח גבולי)