מבחן ההשוואה השני

הטענה

יהיו ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ ו-${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$ שני טורים חיוביים ממש. נניח שקיימים קבועים $0<\alpha \le \beta$ כך שלכל $n\in \mathbb{N}$:

$$\alpha \le \frac{a_n}{b_n}\le \beta$$

אז הטורים מתכנסים ומתבדרים יחדיו (כלומר שניהם מתכנסים או שניהם מתבדרים).

הוכחה

מהנתון לכל $n$: $\alpha b_n\le a_n\le \beta b_n$.

• אם $\sum b_n$ מתכנס: מ-$a_n\le \beta b_n$ ומבחן ההשוואה הראשון, גם $\sum a_n$ מתכנס.
• אם $\sum b_n$ מתבדר: מ-$a_n\ge \alpha b_n$ ומבחן ההשוואה הראשון, גם $\sum a_n$ מתבדר.

בכיוון השני (ניסוח מ-$\sum a_n$): דומה, על ידי שימוש ב-$b_n\le \frac{1}{\alpha }{a}_n$. $■$

ראה גם

• מבחן ההשוואה הראשון
• מבחן ההשוואה הגבולי