כלל לופיטל

כלל לופיטל עוזר לחשב גבול של מנת פונקציות במצבים אי-קצביים (“חוסר קצב” — indeterminate forms). הרבה פעמים ניתן להיעזר באריתמטיקה של גבולות, אך במקרים של $\frac{0}{0}$ או $\frac{\infty }{\infty }$ נדרש כלי נוסף.

---

1. המשפט ($\frac{0}{0}$)

יהיו $f,g$ גזירות בסביבה מנוקבת של $x_0$. נניח:

1. ${\lim }_{x\to x_0}f(x)={\lim }_{x\to x_0}g(x)=0$
2. בסביבה המנוקבת מתקיים $g^{\prime }(x)\ne 0$
3. הגבול ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ קיים (סופי או $\pm \infty$)

אז:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

הוכחה

מכיוון שגבולות לא מושפעים מערך הפונקציה בנקודה עצמה, ניתן לשנות (אם צריך) את הגדרת $f,g$ ב-$x_0$ כך ש-$f(x_0)=g(x_0)=0$. הפונקציות החדשות $f,g$ רציפות ב-$x_0$.

נוכיח את הגבול מימין (הגבול משמאל אנלוגי). לכל $x>x_0$ מספיק קרוב, $f,g$ רציפות ב-$[x_0,x]$ וגזירות ב-$(x_0,x)$, לכן תנאי משפט קושי מתקיימים: קיימת $c_x\in (x_0,x)$ כך ש:

$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}=\frac{f^{\prime }(c_x)}{g^{\prime }(c_x)}$$

כאשר $x\to x_0^{+}$, מתקיים $c_x\to x_0^{+}$ (כי $x_0<c_x<x$). לפי החלפת משתנים בגבולות:

$$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }(c_x)}{g^{\prime }(c_x)}=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=L$$

■

---

2. המשפט ($\frac{\infty }{\infty }$)

יהיו $f,g$ גזירות בסביבה מנוקבת של $x_0$. נניח:

1. ${\lim }_{x\to x_0}f(x)={\lim }_{x\to x_0}g(x)=\pm \infty$
2. בסביבה המנוקבת מתקיים $g^{\prime }(x)\ne 0$
3. ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ קיים

אז:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

רעיון ההוכחה

להשתמש בהחלפת משתנים בגבולות כדי להעביר לגבול מסוג $\frac{0}{0}$.

---

3. המשפט ($x\to \infty$, $\frac{\infty }{\infty }$)

יהיו $f,g$ גזירות בקטע $(M,\infty )$. נניח:

1. ${\lim }_{x\to \infty }f(x)={\lim }_{x\to \infty }g(x)=\infty$
2. $g^{\prime }(x)\ne 0$ בכל $(M,\infty )$
3. ${\lim }_{x\to \infty }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ קיים

אז:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

רעיון ההוכחה

מקבעים $x_1\in (M,\infty )$ ומשתמשים במשפט קושי בקטע $[x_1,x]$. מכיוון ש-$\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}\to L$, בוחרים $x_1$ כך שלכל $c>x_1$ מתקיים $\left|\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}-L\right|<\epsilon$.

---

4. טענה קודמת (ללא צורך בסביבה מנוקבת)

יהיו $f,g$ פונקציות המוגדרות בסביבה (לא מנוקבת) של $x_0$, כך ש:

1. ${\lim }_{x\to x_0}f(x)={\lim }_{x\to x_0}g(x)=0$
2. $f,g$ גזירות בנקודה $x_0$ עצמה
3. $g^{\prime }(x_0)\ne 0$

אז:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime }(x_0)}{g^{\prime }(x_0)}$$

הוכחה

מרציפות, $f(x_0)=g(x_0)=0$. מגזירות:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}{\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}}=\frac{f^{\prime }(x_0)}{g^{\prime }(x_0)}$$

■

---

דוגמה: ${\lim }_{x\to 0^{+}}{x}^x$

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^x=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{e}^{x\ln x}$$

נחשב את הגבול (בצורת $\frac{-\infty }{\infty }$):

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln x}{1/x}$$

לפי לופיטל:

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln x}{1/x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1/x}{-1/x^2}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(-x)=0$$

לפיכך ${\lim }_{x\to 0^{+}}{x}^x=e^0=1$.

ראה גם

• משפט קושי
• החלפת משתנים בגבולות
• הכללת משפט קושי