קמירות של פונקציה רציפה בקטע סגור

הטענה

תהי $f$ רציפה בקטע $[a,b]$ וקמורה בקטע הפתוח $(a,b)$. אז $f$ קמורה בקטע הסגור $[a,b]$.

הוכחה

נוכיח ש-$m(x_1,x_2)\le m(x_2,x_3)$ לכל $x_1<x_2<x_3$ ב-$[a,b]$ (ראו למת המיתרים).

נבנה שתי סדרות:

$$z_n\in (a,x_2),z_n\stackrel{n\to \infty }{\to }{x}_1$$ $$w_n\in (x_2,b),w_n\stackrel{n\to \infty }{\to }{x}_3$$

(אפשר לקחת $z_n=x_1+\frac{1}{n}(x_2-x_1)\cdot \frac{1}{2}$ ו-$w_n=x_3-\frac{1}{n}(x_3-x_2)\cdot \frac{1}{2}$, למשל.)

לכל $n\in \mathbb{N}$: $z_n<x_2<w_n$ ו-$z_n,x_2,w_n\in (a,b)$. מקמירות $f$ ב-$(a,b)$:

$$m(z_n,x_2)\le m(x_2,w_n)$$

מרציפות $f$ ורציפות פונקציית שיפוע המיתר:

$$m(z_n,x_2)\stackrel{n\to \infty }{\to }m(x_1,x_2),m(x_2,w_n)\stackrel{n\to \infty }{\to }m(x_2,x_3)$$

מאחר שאי-שוויון נשמר במעבר לגבול:

$$m(x_1,x_2)\le m(x_2,x_3)■$$

ראה גם

• קמירות וקעירות
• למת המיתרים
• נגזרות חד צדדיות ורציפות של פונקציה קמורה