אריתמטיקה של טורים

הטענה

יהיו ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ ו-${\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n$ טורים מתכנסים עם סכומים $A$ ו-$B$ בהתאמה. אזי:

1. חיבור: ${\sum }_{n=1}^{\infty }(a_n+b_n)=A+B$
2. קבוע מכפיל: ${\sum }_{n=1}^{\infty }(c\cdot a_n)=c\cdot A$ לכל $c\in \mathbb{R}$
3. מונוטוניות: אם לכל $n$: $a_n\le b_n$ אז $A\le B$

הוכחה

(1): תהיינה $A_n,B_n$ הסס”חים בהתאמה. לפי הנתון $A_n\to A$ ו-$B_n\to B$.

נסמן ב-$W_n$ את הסס”ח של $\sum (a_n+b_n)$. אז $W_n=A_n+B_n$, ולפי אריתמטיקה של גבולות סדרות: $W_n\to A+B$. $■$

(2): מתקיים:

$$\sum _{k=1}^{n}c{a}_k=c\sum _{k=1}^n{a}_k=c\cdot A_n\to cA$$

■

(3): מתקיים לכל $n$:

$$A_n=\sum _{k=1}^n{a}_k\le \sum _{k=1}^n{b}_k=B_n$$

במעבר לגבול: $A\le B$. ■

התכנסות בהחלט

אם ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ ו-${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$ מתכנסים בהחלט, אז:

1. חיבור: $\sum (a_n+b_n)$ מתכנס בהחלט
2. קבוע מכפיל: $\sum c{a}_n$ מתכנס בהחלט לכל $c\in \mathbb{R}$
3. אי-שוויון המשולש המורחב: מתקיים

$$\left|\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\right|\le \sum _{n=1}^{\infty }|a_n|$$

ראה גם

• התכנסות טורים
• טור מתכנס אםם כל זנב שלו מתכנס
• משפט קושי למכפלת טורים