שלמות דדקינד

הגדרה

סדר קווי $(X,<)$ נקרא שלם (בשלמות דדקינד) אם לכל תת-קבוצה $A\subseteq X$ לא-ריקה וחסומה מלעיל, יש סופרמום ב-$X$:

$$\forall A\ne \varnothing ,A\text{ חסומה מלעיל}\Rightarrow \sup A\in X$$

דוגמאות

• $(\mathbb{Q},<)$ — אינה שלמה: $A=\{x\in \mathbb{Q}:x^2<2\}$ חסומה מלעיל, אך $\sup A=\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$.
• $(\mathbb{R},<)$ — שלמה (זהו אקסיומה של הממשיים, ראו המספרים הממשיים).

השלמת דדקינד

נתון סדר קווי צפוף $(X,<)$. השלמת דדקינד של $X$ היא $(X^{\prime },\subset )$ — אוסף כל חתכי דדקינד של $X$ עם יחס ההכלה.

אפשר למצוא קבוצה שלמה שמכילה כל קבוצה נתונה על ידי קבוצת החתכים, על פי קבוצת החתכים היא סדר שלם.

תכונות ההשלמה

• $X^{\prime }$ הוא סדר שלם.
• $X$ מוטבע ב-$X^{\prime }$ כתת-קבוצה צפופה (ע”י $y\mapsto C_y=\{x:x<y\}$).
• השלמות דדקינד של קבוצות איזומורפיות הן איזומורפיות.

ראה גם

• חתך דדקינד
• המספרים הממשיים
• קבוצת החתכים היא סדר שלם