איזומורפיזם ועוצמות

איזומורפיזם ועוצמות — ההבדל

הנקודה המרכזית

חשוב: איזומורפיזם של קבוצות סדורות שונה משוויון עוצמה. ייתכן שלשתי קבוצות יש אותה עוצמה (ביקציה ביניהן) מבלי שיהיו איזומורפיות כסדרות (ביקציה שומרת סדר).

דוגמה

$$\mathbb{R}\ncong \mathbb{R}\setminus \{0\}\text{(כסדרות)}$$

אבל $|\mathbb{R}|=|\mathbb{R}\setminus \{0\}|$ (שוויון עוצמה — קיימת ביקציה, למשל $x\mapsto x+\text{const}$ מוזזת).

מדוע $\mathbb{R}\ncong \mathbb{R}\setminus \{0\}$? ב-$\mathbb{R}$, לאיבר $0$ אין קודם מיידי ואין עוקב מיידי. ב-$\mathbb{R}\setminus \{0\}$, ניתן לבדוק שהמבנה שונה. פורמלית: ב-$\mathbb{R}$ הסדר צפוף ללא קצוות, ואיזומורפיזם סדרים חייב לשמר את צפיפות הסדר (אין ל-$\mathbb{R}$ “חורים”) לעומת $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ שבה $0$ “חסר” ויוצר פיצול.

שני מושגי שוויון

מושג	משמעות	כלי
שוויון עוצמה $	A	=
איזומורפיזם סדרים $A\cong B$	קיימת ביקציה $f:A\to B$ שומרת סדר	ביקציה מונוטונית

איזומורפיזם סדרים מגרר שוויון עוצמה. ההפך שגוי.

איווריאנטות

הדרך הטובה ביותר להוכיח שאין איזומורפיזם סדרים היא למצוא איווריאנטה — תכונה המשתמרת תחת איזומורפיזם — שמחזיקה באחת הקבוצות ולא בשנייה.

דוגמאות לאיווריאנטות:

• צפיפות: האם הסדר צפוף ($\forall x<y\exists z:x<z<y$)?
• קצוות: האם יש מינימום/מקסימום?
• שלמות דדקינד: האם כל קבוצה חסומה מלעיל יש לה sup?
• עוצמה (כן, גם שוויון עוצמה הוא איווריאנטה של איזומורפיזם).

יישום

משפט קנטור מראה שכל שתי קבוצות סדורות קוויות צפופות, ללא קצוות, ספירות — איזומורפיות. לכן עוצמה לבדה לא מספיקה: כל שתי מימושים שונים של $\mathbb{Q}$ (כסדרות) הם איזומורפיים, אבל $\mathbb{Q}$ ו-$\mathbb{R}$ אינם איזומורפיים (שלמות דדקינד).

ראה גם

• איזומורפיזם
• קבוצה סדורה קווית
• משפט קנטור
• שלמות דדקינד