משפט הפירוק הפרימרי

הטענה

יהי $V$ מרחב וקטורי מעל שדה $F$ , יהי $T : V \to V$ אופרטור ליניארי, ויהי $f \in F [x]$ המקיים $f (T) = 0$ . נניח כי:

f = i = 1 \prod n g_{i}

כאשר $g_{i} \in F [x]$ ו- $g cd (g_{i}, g_{j}) = 1$ לכל $i \neq = j$ . נגדיר $W_{i} = ker g_{i} (T)$ . אז:

כל $W_{i}$ הוא T-שמור.
מתקיים $V = ⨁_{i = 1}^{n} W_{i}$ .
לכל $i$ קיים $q_{i} \in F [x]$ כך שההטלה המקבילית $P_{i}$ נתונה על ידי $P_{i} = q_{i} (T)$ .

הוכחה

הוכחת (1): $W_{i}$ הוא $T$ -שמור

יהי $w \in W_{i}$ , כלומר $g_{i} (T) w = 0$ . האופרטורים $g_{i} (T)$ ו- $T$ מתחלפים (שניהם פולינומים ב- $T$ ), לכן: $g_{i} (T) (Tw) = T (g_{i} (T) w) = T (0) = 0$ לכן $Tw \in W_{i}$ , ו- $W_{i}$ הוא $T$ -שמור. ■

הוכחת (2) ו-(3): פירוק ישר והטלות כפולינומים

בניית הפולינומים $h_{i}$ : נגדיר לכל $i$ :

h_{i} (x) = j \neq = i \prod g_{j} \in F [x]

טענת עזר: מתקיים $g cd (h_{1}, \dots, h_{n}) = 1$ .

אכן, אם $f^{'}$ מחלק את כל $h_{i}$ , אז בפרט $f^{'} ∣ h_{1}$ , כלומר קיים $j \neq = 1$ כך ש- $f^{'} ∣ g_{j}$ . כעת $f^{'} ∣ h_{j}$ אף כן, לכן קיים $k \neq = j$ כך ש- $f^{'} ∣ g_{k}$ . אך $g cd (g_{j}, g_{k}) = 1$ , ולכן בהכרח $f^{'} = 1$ . ■

שימוש באלגוריתם אוקלידס: מכיוון ש- $g cd (h_{1}, \dots, h_{n}) = 1$ , לפי אלגוריתם אוקלידס למציאת מחלק משותף מקסימלי קיימים $a_{1}, \dots, a_{n} \in F [x]$ כך ש: $a_{1} h_{1} + \dots + a_{n} h_{n} = 1$ בהצבת $T$ : $a_{1} (T) h_{1} (T) + \dots + a_{n} (T) h_{n} (T) = Id_{V}$

הפירוק $V = \sum W_{i}$ : לכל $v \in V$ נגדיר $w_{i} = a_{i} (T) h_{i} (T) v$ . אז $v = \sum w_{i}$ . נראה ש- $w_{i} \in W_{i}$ : $g_{i} (T) w_{i} = g_{i} (T) a_{i} (T) h_{i} (T) v = a_{i} (T) \cdot = f (T) = 0 g_{i} (T) h_{i} (T) v = 0$ לכן $V = \sum W_{i}$ .

הסכום ישר: נראה שההצגה $v = \sum w_{i}$ יחידה. מספיק להראות שאם $w_{j} \in W_{j}$ ו- $i \neq = j$ , אז $a_{i} (T) h_{i} (T) w_{j} = 0$ : $a_{i} (T) h_{i} (T) w_{j} = a_{i} (T) \cdot \prod_{k \neq = i} g_{k} (T) \cdot w_{j}$ מכיוון ש- $j \neq = i$ , הגורם $g_{j} (T)$ מופיע בתוך $h_{i} (T)$ , ו- $g_{j} (T) w_{j} = 0$ , לכן המכפלה שווה אפס. לכן: $w_{j} = Id_{V} (w_{j}) = \sum_{i} a_{i} (T) h_{i} (T) w_{j} = a_{j} (T) h_{j} (T) w_{j}$ ואם $\sum w_{j} = 0$ אז $0 = a_{j} (T) h_{j} (T) (0) = \dots$ , ומכאן הייחודיות ו- $V = ⨁ W_{i}$ . ■

הוכחת (3): מהחישוב לעיל ההטלה המקבילית $P_{i}$ נתונה על ידי $P_{i} = a_{i} (T) h_{i} (T)$ , כלומר $q_{i} = a_{i} \cdot h_{i} \in F [x]$ . ■

מסקנה

כאשר $f = m_{T}$ (הפולינום המינימלי) ו- $g_{i}$ הם הגורמים האי-פריקים של $m_{T}$ , המשפט נותן פירוק קנוני של $V$ ל- $T$ -שמורים. זהו הבסיס לצורת ז’ורדן ולתורת הלכסון המורחבת.

ויקי מתמטיקה

סייר

משפט הפירוק הפרימרי

משפט הפירוק הפרימרי

הטענה

הוכחה

הוכחת (1): $W_{i}$ הוא $T$ -שמור

הוכחת (2) ו-(3): פירוק ישר והטלות כפולינומים

מסקנה

ראה גם

מבט גרף

תוכן עניינים

קישורים חוזרים

ויקי מתמטיקה

סייר

משפט הפירוק הפרימרי

משפט הפירוק הפרימרי

הטענה

הוכחה

הוכחת (1): Wi​ הוא T-שמור

הוכחת (2) ו-(3): פירוק ישר והטלות כפולינומים

מסקנה

ראה גם

מבט גרף

תוכן עניינים

קישורים חוזרים

הוכחת (1): $W_{i}$ הוא $T$ -שמור