חלוקת פולינומים עם שארית

המשפט

יהיו $f, g \in F [x]$ עם $g \neq = 0$ . אז קיימים יחידים $q, r \in F [x]$ כך ש:

f = g \cdot q + r, de g (r) < de g (g)

הפולינום $q$ נקרא המנה ו- $r$ נקרא השארית.

הגדרת חלוקה

נאמר ש- $g$ מחלק את $f$ (סימון: $g ∣ f$ ) אם שארית החלוקה היא אפס, כלומר $\exists h \in F [x] : f = g \cdot h$ .

הוכחה (בקצרה)

קיום: אינדוקציה על $de g f$ . אם $de g f < de g g$ , לוקחים $q = 0, r = f$ . אחרת, מחסירים מ- $f$ מכפלה מתאימה של $g$ ומורידים את המעלה.

יחידות: אם $g q_{1} + r_{1} = g q_{2} + r_{2}$ , אז $g (q_{1} - q_{2}) = r_{2} - r_{1}$ . מ- $de g (r_{2} - r_{1}) < de g g$ ו- $de g (g (q_{1} - q_{2})) \geq de g g$ (אם $q_{1} \neq = q_{2}$ ) — סתירה. $■$

מסקנות

משפט השורשים: $λ$ שורש של $f$ $⟺$ $(x - λ) ∣ f (x)$ $⟺$ $f = q (x) (x - λ)$ לאיזשהו $q$ .
$f [x]$ הוא תחום שלמות עם חלוקה עם שארית, לכן יש פריקות יחידה.

ויקי מתמטיקה

סייר

חלוקת פולינומים עם שארית

חלוקת פולינומים עם שארית

המשפט

הגדרת חלוקה

הוכחה (בקצרה)

מסקנות

ראה גם

מבט גרף

תוכן עניינים

קישורים חוזרים