כפל פולינומים

כפל פולינומים ופולינום מתוקן

כפל פולינומים

יהיו פולינומים ב-$F[x]$:

$$f(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i,g(x)=\sum _{j=0}^m{b}_j{x}^j$$

המכפלה שלהם מוגדרת:

$$(fg)(x)=\sum _{k=0}^{n+m}\left(\sum _{i+j=k}{a}_i{b}_j\right)x^k$$

המכפלה היא פולינום ממעלה לכל היותר $n+m$ (ממש $n+m$ אם $a_n,b_m\ne 0$).

פולינום מתוקן (Monic)

פולינום $f(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_0$ נקרא מתוקן אם $a_n=1$ (המקדם המוביל שלו הוא $1$).

חשיבות: בהגדרות כמו מחלק משותף גדול, הפולינום האופייני והפולינום המינימלי, עובדים עם פולינומים מתוקנים לצורך יחידות.

תכונות

• $\mathrm{deg}(fg)=\mathrm{deg}f+\mathrm{deg}g$ (עבור $f,g\ne 0$).
• $F[x]$ עם חיבור וכפל הוא חוג תחום שלמות.

ראה גם

• חוגים
• חלוקת פולינומים עם שארית
• מחלק משותף גדול ביותר של פולינומים