אופרטורים ליניאריים ומטריצות דומות

הטענה

יהיו $A,B\in M_n(F)$. אז $A\sim B$ (ראו דמיון מטריצות) אם ורק אם קיים אופרטור ליניארי $T:F^n\to F^n$ ובסיסים $\mathcal{B},{\mathcal{B}}^{\prime }$ של $F^n$ כך ש:

$$[T{]}_{\mathcal{B}}=A\text{ו-}[T{]}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}=B$$

כלומר, שתי מטריצות דומות אם ורק אם הן מייצגות את אותו אופרטור בבסיסים שונים.

הוכחה

$(\Rightarrow )$ אם $A\sim B$ אז הן מייצגות אותו אופרטור

נניח $B=P^{-1}AP$ כאשר $P$ הפיכה. נגדיר את האופרטור $T:F^n\to F^n$ על ידי $Tv=Av$ (כפל מטריצה-וקטור). ביחס לבסיס הסטנדרטי $\mathcal{E}$: $[T{]}_{\mathcal{E}}=A$.

מטריצה הפיכה $P$ מגדירה בסיס חדש ${\mathcal{B}}^{\prime }=\{u_1,\dots ,u_n\}$ שעמודות $P$ הן קואורדינטות $u_i$ ב-$\mathcal{E}$, כלומר $P=[Id{]}_{\mathcal{E}}^{{\mathcal{B}}^{\prime }}$ (מטריצת שינוי הבסיס מ-${\mathcal{B}}^{\prime }$ ל-$\mathcal{E}$).

נוסחת שינוי בסיס: $[T{]}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}=P^{-1}[T{]}_{\mathcal{E}}P=P^{-1}AP=B$.

לכן $A$ ו-$B$ מייצגות את אותו $T$ בבסיסים שונים. $■$

$(\Leftarrow )$ אם הן מייצגות אותו אופרטור אז $A\sim B$

נניח $[T{]}_{\mathcal{B}}=A$ ו-$[T{]}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}=B$. תהי $P=[Id{]}_{\mathcal{B}}^{{\mathcal{B}}^{\prime }}$ מטריצת שינוי הבסיס מ-${\mathcal{B}}^{\prime }$ ל-$\mathcal{B}$. אז מנוסחת שינוי הבסיס:

$$[T{]}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}=P^{-1}[T{]}_{\mathcal{B}}P⟹B=P^{-1}AP$$

לכן $A\sim B$. $■$

מסקנה

הגדרת דמיון מטריצות מתמטמת בדיוק את המושג “אותו אופרטור, בסיס שונה”. לכן כל פולינום אופייני, ערך עצמי, ריבוי, ועוד — הם אינווריאנטים של האופרטור ולא של הבסיס.

ראה גם

• דמיון מטריצות
• למטריצות דומות יש את אותו הפולינום האופייני
• לכסון