חוגים

הגדרה

קבוצה $(R,+,\cdot ,0,1)$ נקראת חוג אם מתקיימים:

1. $(R,+,0)$ היא חבורה אבלית (קומוטטיבית): סגירות, אסוציאטיביות, איבר נייטרלי $0$, הפיכים.
2. הכפל אסוציאטיבי, ו-$1$ הוא האיבר הנייטרלי לכפל: $1\cdot a=a\cdot 1=a$.
3. דיסטריביוטיביות: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ ו-$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.

חוג שבו גם הכפל קומוטטיבי ($ab=ba$) נקרא חוג חילופי (קומוטטיבי).

דוגמאות

חוג	חילופי?	תחום?
$\mathbb{Z}$	כן	כן
$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$	כן	רק אם $n$ ראשוני
$F[x]$ עבור שדה $F$	כן	כן
$M_2(\mathbb{R})$	לא	לא ($AB=0$ אפשרי)

תחום שלמות

חוג קומוטטיבי $R$ נקרא תחום שלמות אם לכל $a,b\in R$ עם $ab=0$ מתקיים $a=0$ או $b=0$ (כלומר אין מחלקי אפס).

דוגמה: $F[x]$ הוא תחום שלמות: אם $f\cdot g=0$ אז $\mathrm{deg}(fg)=\mathrm{deg}f+\mathrm{deg}g\to$ סתירה אם $f,g\ne 0$.

לא-דוגמה: $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$: $2\cdot 3=6\equiv 0$.

חלוקה עם שארית

בחוג $R$ יש חלוקה עם שארית אם לכל $f,g\in R$ עם $g\ne 0$ קיימים יחידים $q,r\in R$ כך ש-$f=gq+r$ ו-$r$ “קטן מ-$g$” (למשל ממעלה נמוכה יותר בחוג הפולינומים).

משפט: אם $R$ תחום שלמות קומוטטיבי עם חלוקה עם שארית, אז יש ב-$R$ פריקות יחידה.

דוגמה: $F[x]$ הוא תחום שלמות עם חלוקה עם שארית (חלוקת פולינומים עם שארית), לכן יש בו פריקות יחידה.

לא-דוגמה: $\mathbb{Z}[x]$ — אין חלוקה עם שארית (אי אפשר לחלק $x$ ב-$2$).

הומורפיזם של חוגים

הגדרה: יהיו $R_1,R_2$ חוגים. העתקה $f:R_1\to R_2$ היא הומורפיזם של חוגים אם:

1. $f(a+b)=f(a)+f(b)$ (שימור חיבור).
2. $f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)$ (שימור כפל).
3. $f(1_{R_1})=1_{R_2}$ (שימור איבר יחידה).

דוגמה — שדות: אם $F_1,F_2$ שדות, $F_1$ נחשב מוכל ב-$F_2$ אם קיים הומורפיזם חוגים שונה מאפס $f:F_1\to F_2$ (הכרחית חד-חד-ערכית כי גרעין הומורפיזם של שדה הוא $\{0\}$).

דוגמה — הצבה: עבור $c\in F$, העתקת ההצבה ${\mathrm{ev}}_c:F[x]\to F$ המוגדרת על ידי ${\mathrm{ev}}_c(f)=f(c)$ היא הומורפיזם של חוגים.

ראה גם

• חלוקת פולינומים עם שארית
• מחלק משותף גדול ביותר של פולינומים
• פריקות יחידה בחוג הפולינומים