דמיון מטריצות

הגדרה

מטריצות $A,B\in M_n(F)$ נקראות דומות (סימון: $A\sim B$) אם קיימת מטריצה הפיכה $P\in M_n(F)$ כך ש:

$$B=P^{-1}AP$$

ואומרים ש-$P$ מצמידה את $A$ ל-$B$.

תכונות

יחס שקילות

יחס הדמיון הוא יחס שקילות על $M_n(F)$:

• רפלקסיביות: $A\sim A$ (נבחר $P=I_n$: $I^{-1}AI=A$).
• סימטריה: אם $B=P^{-1}AP$ אז $A=(P^{-1}{)}^{-1}B(P^{-1})=PB{P}^{-1}$, לכן $A\sim B$.
• טרנזיטיביות: אם $B=P^{-1}AP$ ו-$C=Q^{-1}BQ$ אז $C=Q^{-1}{P}^{-1}APQ=(PQ{)}^{-1}A(PQ)$, לכן $A\sim C$.

חזקות

אם $A\sim B$ אז $A^m\sim B^m$ לכל $m\in \mathbb{N}$.

הוכחה: מ-$B=P^{-1}AP$ נקבל $B^m=(P^{-1}AP{)}^m=P^{-1}{A}^{m}P$. $■$

הערה: ההפך אינו נכון: $A^m\sim B^m$ לא מגרר $A\sim B$.

אינווריאנטים

תכונות המשתמרות תחת דמיון (לא תלויות בבחירת המטריצה המייצגת):

• פולינום אופייני: ראו למטריצות דומות יש את אותו הפולינום האופייני.
• ערכים עצמיים (כי הם שורשי הפולינום האופייני).
• עקבה (trace) ודטרמיננטה (כי הן מקדמי הפולינום האופייני).
• דרגה (rank).
• פולינום מינימלי.

קשר לאופרטורים ליניאריים

ראו אופרטורים ליניאריים ומטריצות דומות: שתי מטריצות דומות אם ורק אם הן מייצגות את אותו אופרטור ליניארי בבסיסים שונים.

זה ההצדקה התיאורטית לדמיון: שתי מטריצות המייצגות את אותו $T$ בבסיסים שונים $B,B^{\prime }$ קשורות על ידי $[T{]}_{B^{\prime }}=P^{-1}[T{]}_{B}P$ כאשר $P=[Id{]}_{B^{\prime }}^B$ היא מטריצת שינוי הבסיס.

ראה גם

• אופרטורים ליניאריים ומטריצות דומות
• למטריצות דומות יש את אותו הפולינום האופייני
• לכסון