שינוי סדר הסכימה של רימן

הטענה

אם ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ מתכנס בתנאי (מתכנס אך לא בהחלט), אז לכל $S\in \mathbb{R}\cup \{-\infty ,\infty \}$ קיימת תמורה $\sigma :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ כך שהטור שמתקבל מסידור מחדש של האיברים מתכנס ל-$S$:

$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_{\sigma (n)}=S$$

השוואה עם התכנסות בהחלט

הטענה היא השלמה למשפט שינוי הסדר בהתכנסות בהחלט: אם $\sum a_n$ מתכנס בהחלט, אז לכל תמורה $\sigma$ הטור המסודר מחדש מתכנס לאותו הסכום. לכן:

סוג התכנסות	שינוי סדר
בהחלט	הסכום נשמר תמיד
בתנאי	ניתן לקבל כל סכום!

רעיון ההוכחה

נגדיר ${\epsilon }_n\in \{-1,1\}$ באינדוקציה: אם הסכום החלקי עולה על $S$ — נגדיר ${\epsilon }_{n+1}=-1$, אחרת ${\epsilon }_{n+1}=1$.

הטור $\sum {\epsilon }_n{a}_n$ מחליף סימן אינסוף פעמים (אחרת הטור היה מתכנס בהחלט — סתירה). כיוון ש-$a_n\to 0$, ניתן להוכיח שהסכומים החלקיים שואפים ל-$S$.

הפרטים: יהי $\epsilon >0$. קיים $n_1$ כך שלכל $n\ge n_1$ מתקיים $|a_n|<\epsilon$. מכיוון שהטור מחליף סימן אינסוף פעמים, קיים $n_2\ge n_1$ כך שבלי הגבלת הכלליות:

$$\sum _{k=1}^{n_2}{\epsilon }_k{a}_k<S\le \sum _{k=1}^{n_2+1}{\epsilon }_k{a}_k$$

ניתן להוכיח באינדוקציה שלכל $n>n_2$:

$$\left|\sum _{k=1}^n{\epsilon }_k{a}_k-S\right|<\epsilon$$

ראה גם

• התכנסות טורים
• אם טור מתכנס בהחלט אז הוא מתכנס