מבחן לייבניץ

הטענה

יהי ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{a}_n$ טור כך שהסדרה $\{a_n\}$ היא:

• חיובית: $a_n>0$
• מונוטונית יורדת: $a_{n+1}\le a_n$
• שואפת לאפס: $a_n\to 0$

אז הטור מתכנס. בנוסף, השארית אחרי $N$ איברים קטנה ב-$|R_N|\le a_{N+1}$.

הוכחה

תהי $S_n$ סדרת הסכומים החלקיים.

$S_{2n}$ מונוטונית עולה:

$$S_{2n+2}-S_{2n}=(-1{)}^{2n+1}{a}_{2n+1}+(-1{)}^{2n+2}{a}_{2n+2}=-a_{2n+1}+a_{2n+2}\le 0$$

שגיאה: ממשפט הגבול, $S_{2n+2}\ge S_{2n}$. כמו כן:

$$S_2\le S_4\le \cdots \le S_{2n}\le S_{2n+1}\le \cdots \le S_3\le S_1$$

לפיכך $S_{2n}$ מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ב-$S_1$, ולכן מתכנסת לגבול $L$.

$S_{2n-1}$ מונוטונית יורדת: $S_{2n+1}-S_{2n-1}=-a_{2n}+a_{2n+1}\le 0$, חסומה מלרע, ומתכנסת.

שני הגבולות שווים: $S_{2n+1}-S_{2n}=(-1{)}^{2n+1}{a}_{2n+1}=-a_{2n+1}\to 0$, לכן שתי הסדרות מתכנסות לאותו גבול $L$.

לפיכך $S_n\to L$, ועל כן הטור מתכנס. $■$

חסם השארית

$$|R_N|=\left|\sum _{n=N+1}^{\infty }(-1{)}^n{a}_n\right|\le a_{N+1}$$

הוכחה: השארית $R_N$ היא טור מתחלף עם $a_1^{\prime }=a_{N+1}$, ומהמקרה $N=0$ של המשפט, $|R_N|\le a_{N+1}$.

דוגמאות

• הטור האלטרנטיבי $\sum \frac{(-1{)}^n}{n}$: $a_n=\frac{1}{n}$ יורדת לאפס — מתכנס.
• הטור $\sum \frac{(-1{)}^n}{\ln n}$: $a_n=\frac{1}{\ln n}$ יורדת לאפס — מתכנס.

ראה גם

• התכנסות טורים
• אם טור מתכנס בהחלט אז הוא מתכנס
• קריטריון קושי