למת המיתרים

הטענה

תהי $f:I\to \mathbb{R}$ פונקציה. $f$ קמורה אם ורק אם לכל $x_1<x_2<x_3$ בקטע $I$ מתקיים:

$$m(x_1,x_2)\le m(x_1,x_3)\le m(x_2,x_3)$$

כאשר שיפוע המיתר מוגדר:

$$m(a,b)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

הוכחה

לפי שיפוע מיתר פנימי הוא ממוצע משוקלל, $m(x_1,x_3)$ הוא ממוצע משוקלל של $m(x_1,x_2)$ ו-$m(x_2,x_3)$. לפיכך מספיק להוכיח ש-$f$ קמורה אם ורק אם לכל $x_1<x_2<x_3$ מתקיים $m(x_1,x_2)\le m(x_1,x_3)$.

המיתר בין $x_1$ ל-$x_3$ הוא: $l(x)=m(x_1,x_3)(x-x_1)+f(x_1)$.

הפונקציה $f$ קמורה אם ורק אם $f(x_2)\le l(x_2)$ לכל $x_2\in (x_1,x_3)$:

$$\begin{array}{rl}f(x_2)\le l(x_2)& ⟺f(x_2)\le m(x_1,x_3)(x_2-x_1)+f(x_1)\\ & ⟺f(x_2)-f(x_1)\le m(x_1,x_3)(x_2-x_1)\\ & ⟺\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\le m(x_1,x_3)\\ & ⟺m(x_1,x_2)\le m(x_1,x_3)\end{array}$$

■

אינטואיציה

אם השיפוע בין $x_1$ ל-$x_3$ גדול מהשיפוע בין $x_1$ ל-$x_2$ (נקודה באמצע), זה אומר שהגרף “מואץ” — שיפועו גדל ככל שמתקדמים. זה בדיוק אופי הפונקציה הקמורה (“גבשושית”).

left=-2;right=2;
top=3;bottom=-1;
---
f(x)=-(2/3)x+(4/3)|-1<=x|x<=1
g(x)=-(2)x|-1<=x|x<=0
h(x)=(2/3)x|0<=x|x<=1|

ראה גם

• קמירות וקעירות
• שיפוע מיתר פנימי הוא ממוצע משוקלל
• בפונקציה קמורה הישר המשיק לפונקציה נמצא מתחת לגרף