שיפוע מיתר פנימי הוא ממוצע משוקלל

סימון

עבור $x_1<x_2$ נסמן את שיפוע המיתר:

$$m(x_1,x_2)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$

הטענה

תהי $f:I\to \mathbb{R}$ פונקציה ויהיו $x_1<x_2<x_3$ נקודות ב-$I$. אז $m(x_1,x_3)$ הוא ממוצע משוקלל של $m(x_1,x_2)$ ו-$m(x_2,x_3)$.

באופן מפורש, נסמן:

$$\lambda =\frac{x_2-x_1}{x_3-x_1}\in (0,1),1-\lambda =\frac{x_3-x_2}{x_3-x_1}$$

ומתקיים:

$$m(x_1,x_3)=\lambda \cdot m(x_1,x_2)+(1-\lambda )\cdot m(x_2,x_3)$$

הוכחה

נחשב ישירות:

$$m(x_1,x_3)=\frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}$$

נוסיף ונחסר $f(x_2)$ במונה:

$$=\frac{[f(x_3)-f(x_2)]+[f(x_2)-f(x_1)]}{x_3-x_1}$$ $$=\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_1}+\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_3-x_1}$$

נכפיל ונחלק בגורמים מתאימים:

$$=\frac{x_3-x_2}{x_3-x_1}\cdot \underset{m(x_2,x_3)}{\underbrace{\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}}}+\frac{x_2-x_1}{x_3-x_1}\cdot \underset{m(x_1,x_2)}{\underbrace{\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}}$$ $$=\lambda \cdot m(x_1,x_2)+(1-\lambda )\cdot m(x_2,x_3)■$$

אילוסטרציה

left=-2;right=3;
top=5; bottom=-1;
---
f(x)=x^2|black
g(x)=x+2|-1<=x|x<=2|green
(-1,1)|black|label:A
(2,4)|black|label:B
(0,0)|black|label:C
h(x)=2x|0<=x|x<=2|red
t(x)=-x|-1<=x|x<=0|blue

השיפוע הירוק (מ-$A$ ל-$B$) הוא ממוצע משוקלל של השיפוע האדום (מ-$C$ ל-$B$) והשיפוע הכחול (מ-$A$ ל-$C$).

מסקנה

תהי $f:I\to \mathbb{R}$ ויהיו $x_1<x_2<x_3$ בקטע $I$. אז האי-שוויונות הבאים שקולים זה לזה:

1. $m(x_1,x_2)\le m(x_2,x_3)$
2. $m(x_1,x_2)\le m(x_1,x_3)$
3. $m(x_1,x_3)\le m(x_2,x_3)$

הסבר: מאחר ש-$m(x_1,x_3)$ הוא ממוצע משוקלל של $m(x_1,x_2)$ ו-$m(x_2,x_3)$ (עם משקלות חיוביים), ערכו נמצא בין שני הקצוות. לכן $m(x_1,x_2)\le m(x_2,x_3)$ גורר הכל.

ראה גם

• למת המיתרים
• קמירות וקעירות