נקודת פיתול

הגדרה

תהי $f$ פונקציה המוגדרת בסביבת $x_0$. נאמר ש-$x_0$ היא נקודת פיתול של $f$ אם $f$ עוברת ב-$x_0$ מקמירות לקעירות או מקעירות לקמירות.

פורמלית: $x_0$ נקודת פיתול אם קיים $\delta >0$ כך ש-$f$ קמורה ב-$(x_0-\delta ,x_0)$ וקעורה ב-$(x_0,x_0+\delta )$, או להפך.

קריטריון

אם $f$ גזירה פעמיים ו-$f^{\prime \prime }$ מחליפה סימן ב-$x_0$ (עוברת מ-$+$ ל-$-$ או להפך), אז $x_0$ נקודת פיתול.

תנאי הכרחי: אם $f$ גזירה פעמיים ו-$x_0$ נקודת פיתול, אז $f^{\prime \prime }(x_0)=0$.

זהירות: $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ אינו מספיק — למשל $f(x)=x^4$ ב-$x_0=0$: $f^{\prime \prime }(0)=0$ אך $f$ קמורה בכל $\mathbb{R}$ (ו-$0$ נקודת מינימום).

קשר לקיצון

משפט: אם $f$ גזירה ו-$x_0$ נקודת פיתול של $f$, אז $x_0$ נקודת קיצון של $f^{\prime }$.

הוכחה: נניח $f$ קמורה ב-$(x_0-\delta ,x_0)$ וקעורה ב-$(x_0,x_0+\delta )$. מנגזרות חד צדדיות ורציפות של פונקציה קמורה: $f^{\prime }$ מונוטונית עולה בקטע הקמור ויורדת בקטע הקעור. לכן $f^{\prime }(x)\le f^{\prime }(x_0)$ לכל $x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta )$, כלומר $x_0$ נקודת מקסימום מקומי של $f^{\prime }$.

אם $f$ גזירה פעמיים, לפי משפט פרמה: $f^{\prime \prime }(x_0)=0$. $■$

תרגילים

תרגיל 1

מצאו נקודות פיתול של $f(x)=e^{-|x|}$.

פתרון: עבור $x>0$: $f(x)=e^{-x}$, $f^{\prime \prime }(x)=e^{-x}>0$ (קמורה). עבור $x<0$: $f(x)=e^x$, $f^{\prime \prime }(x)=e^x>0$ (קמורה). הפונקציה קמורה בשני הצדדים, לכן אין נקודת פיתול ב-$0$ (אך $0$ מעניין כנקודה שבה $f$ אינה גזירה).

תרגיל 2

מצאו נקודות פיתול של $f(x)=x{e}^{-|x|}$.

פתרון: עבור $x>0$: $f(x)=x{e}^{-x}$.

$$f^{\prime }(x)=(1-x)e^{-x},f^{\prime \prime }(x)=(x-2)e^{-x}$$

מתקיים $f^{\prime \prime }(x)=0$ ב-$x=2$, ו-$f^{\prime \prime }$ מחליפה סימן שם (מ-$-$ ל-$+$). לכן $x=2$ נקודת פיתול.

באופן דומה (סימטריה): עבור $x<0$, $x=-2$ נקודת פיתול.

ראה גם

• קמירות וקעירות
• נגזרות חד צדדיות ורציפות של פונקציה קמורה
• סיווג קיצון לפי נגזרות מסדר גבוה
• משפט פרמה